Jeżeli \(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)}\)
Oblicz \(\displaystyle{ \tg^{2} \left( \frac{2}{3}\alpha \right) + \ctg^{2} \left( \frac{2}{3}\alpha \right)}\)
Obliczanie Tg
-
wujomaro
- Użytkownik
- Posty: 2154
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 299 razy
Obliczanie Tg
Chyba najlepiej jest wyznaczyć sobie najpierw kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{2}}\)
I potem po prostu obliczyć to, co jest do obliczenia.
Pozdrawiam!
I potem po prostu obliczyć to, co jest do obliczenia.
Pozdrawiam!
Obliczanie Tg
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}-2}{2}}\)
No wyszło coś takiego. Zresztą nie wiem jak potem przejść na \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \alpha}\)
No wyszło coś takiego. Zresztą nie wiem jak potem przejść na \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \alpha}\)
-
p2310
- Użytkownik
- Posty: 83
- Rejestracja: 7 kwie 2013, o 20:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 16 razy
Obliczanie Tg
\(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \sqrt{2} |\left( \right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha =2}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \sin2 \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; \frac{ \pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2} \frac{ \pi }{6} +\ctg ^{2} \frac{ \pi }{6}=3 \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha =2}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \alpha \cos \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \sin2 \alpha =1}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{4}}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in \left( 0; \frac{ \pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \tg ^{2} \frac{ \pi }{6} +\ctg ^{2} \frac{ \pi }{6}=3 \frac{1}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 14 kwie 2013, o 19:33 przez p2310, łącznie zmieniany 1 raz.
Obliczanie Tg
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \iff \cos \alpha = \sqrt{2} - \sin \alpha}\)
To teraz korzystam z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} - \sin \alpha \right)^{2} + \sin^{2} \alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^{2} \alpha -2\sqrt{2} \sin \alpha + 1=0 \iff \left( \sin \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2} = 0 \iff \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \alpha = \frac{\pi}{4}}\)
Dobra, jednak bład zrobiłem. Dobrze, że to teraz napisałem, bo dzięki temu zauważyłem że \(\displaystyle{ 1 \neq -1}\) co miałem na kartce w równaniu kwadratowym. No i przez to dalej idzie bardzo łatwo policzyć ten tangens, bo \(\displaystyle{ \tg^{2} \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} \right)}\) to po prostu \(\displaystyle{ \tg^{2} \left( \frac{\pi}{6} \right)}\) a to już jest elementarne. Dzięki!
To teraz korzystam z jedynki trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1}\)
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} - \sin \alpha \right)^{2} + \sin^{2} \alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^{2} \alpha -2\sqrt{2} \sin \alpha + 1=0 \iff \left( \sin \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2} = 0 \iff \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \iff \alpha = \frac{\pi}{4}}\)
Dobra, jednak bład zrobiłem. Dobrze, że to teraz napisałem, bo dzięki temu zauważyłem że \(\displaystyle{ 1 \neq -1}\) co miałem na kartce w równaniu kwadratowym. No i przez to dalej idzie bardzo łatwo policzyć ten tangens, bo \(\displaystyle{ \tg^{2} \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{\pi}{4} \right)}\) to po prostu \(\displaystyle{ \tg^{2} \left( \frac{\pi}{6} \right)}\) a to już jest elementarne. Dzięki!