Tożsamość do udowodnienia.

[dawid.barracuda]

Witam. Mam takie zadanie: Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x \neq \frac{ \pi }{2} + 2k \pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\), to \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{x}{2} \right) = \frac{\cos x}{1- \sin x}}\)

Próbowałem zamienić tangensa na iloraz sinusa i cosinusa, wyliczyć coś ze wzorów na sumę sinusa i cosinusa, ale zatrzymuję się w takim oto punkcie:
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{x}{2} \right) = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} }{\cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2} }}\)
Nie wiem co dalej i nie wiem czy w ogóle ta taktyka jest prawidłowa. Proszę o wskazówki i pozdrawiam.

[ares41]

\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{x}{2} \right)=\tg \left( \frac{ \frac{ \pi }{2}+x}{2} \right)}\)
I wzór na tangensa kąta połówkowego.

[dawid.barracuda]

A nie da się jakoś tego zrobić opierając się jedynie na narzędziach które mam w tablicach maturalnych?

[ares41]

A jakim problemem jest wyprowadzenie sobie tego wzoru ?
Korzystając ze wzoru cosinus kąta podwojonego mamy:
\(\displaystyle{ \cos x= 2\cos^2{\frac{x}{2}}-1=1-2\sin^2{\frac{x}{2}}}\)
Stąd wyznaczamy sinusa i kosinusa kąta połówkowego.

[dawid.barracuda]

I z tego ma mi wyjść, że \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{\cos x + 1}{2} } = \cos \frac{x}{2}}\) ?

[ares41]

A co ze znakiem ? Nie wiesz przecież, w której ćwiartce leży ten kąt.

[dawid.barracuda]

Więc powinno być tak (?):
\(\displaystyle{ \left| \cos \frac{x}{2}\right| = \sqrt{ \frac{\cos x + 1}{2} }}\)

[ares41]

Tak. Czyli \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} =\pm \sqrt{ \frac{\cos x + 1}{2} }}\)
Podobnie wyznaczasz sinusa i potem korzystasz z faktu, że tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa.

[dawid.barracuda]

I wtedy dojdę do strony prawej od tego, na czym skończyłem, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} }{\cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2} }}\)?

[Qń]

zatrzymuję się w takim oto punkcie:
\(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{4} + \frac{x}{2} \right) = \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} }{\cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} }{\cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2} }= \frac{\left( \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}\right) \left( \cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2}\right) }{\left( \cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2}\right) \left( \cos \frac{x}{2}- \sin \frac{x}{2}\right)}=\\ = \frac{\cos ^2\frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos ^2\frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2} \sin \frac{x}{2}}= \frac{\cos x}{1-\sin x}}\)

Q.

[dawid.barracuda]

Jestem pod wrażeniem tego przekształcenia Dzięki wielkie za pomoc, pozdrawiam.