Oblicz wartość wyrażenia i miarę kąta

[Tula]

1) Wiedząc, że \(\displaystyle{ \tg \alpha + \ctg \alpha = 2}\), oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{\tg^{2} \alpha + \ctg^{2} \alpha }}\)

2) Wyznacz miarę kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\), dla której wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{\sin ^{3} \alpha + \cos ^{2} \alpha \cdot \sin \alpha }{ \cos \alpha }}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

[wujomaro]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \tg x \cdot \ctg x = 1}\)
Wyrażenie \(\displaystyle{ \tg \alpha + \ctg \alpha}\) podnieś do kwadratu. Powinno się już rozjaśnić.
Pozdrawiam!

[p2310]

1.
\(\displaystyle{ \tg \alpha +\ctg \alpha =2 |() ^{2} \\
\tg ^{2} \alpha + \ctg ^{2} \alpha + 2 \tg \alpha \ctg \alpha = 4 \\
\tg ^{2} \alpha +\ctg ^{2} \alpha = 4 - 2 \tg \alpha \ctg \alpha \\
\tg ^{2} \alpha +\ctg ^{2} \alpha = 4-2 \\
\tg ^{2} \alpha +\ctg ^{2} \alpha = 2 | \sqrt{} \\
\sqrt{\tg ^{2} \alpha + \ctg ^{2} \alpha } = \sqrt{2}}\)

[matematyk1995]

Co do drugiego wyciąg w liczniku \(\displaystyle{ \sin \alpha}\) przed nawias i zauważ jedynkę trygonometryczną.

[p2310]

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha \left( \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha \right) }{\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha \cdot 1}{\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } =\tg \alpha}\)
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \alpha =60 ^{o}}\)

[matematyk1995]

Bardzo dobrze.