równania trygonometryczne

[kamil1994]

Proszę o pomoc w rozwiazaniu nastepujacych zadan
Zad.1
Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest srodkiem boku \(\displaystyle{ BC}\) kwadratu \(\displaystyle{ ABCD}\). Oblicz sinus,cosinus i tangens kata \(\displaystyle{ EAB}\).
Zad.2
Udowodnij, ze miedzy katami ostrymi alfa i beta trojkata prostokatnego zachodzi zaleznosc:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \beta -\cos ^{3} \alpha}{\sin \alpha -\cos ^{3} \beta} = \tg \alpha}\)
Zad.3
Boki trojkata \(\displaystyle{ ABC}\) maja nastepujace dlugosci \(\displaystyle{ AC=BC=5 \ cm}\) i \(\displaystyle{ AB=8 \ cm}\). Oblicz miary katow przy podstawie tego trojkata.
Zad.4
Oblicz wartość wyrazenia \(\displaystyle{ \frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -3\sin \alpha }}\) wiedzac, ze \(\displaystyle{ \tg \alpha=2}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\) jest katem ostrym.

[cosinus90]

1. Masz rysunek do tego zadania?
2. Wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ \beta = 90^{o} - \alpha}\), zatem \(\displaystyle{ \sin\beta = \cos\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\beta = sin\alpha}\) ze wzorów redukcyjnych.
3. Poprowadź wysokość i oblicz wartości wybranej funkcji trygonometrycznej dla szukanych kątów.
4. Podziel licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i dostaniesz wyrażenie z samymi tangensami.

[chris_f]

Trochę od końca (bo najszybciej).
W czwartym
\(\displaystyle{ \frac{3\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-3\sin\alpha}}\)
dzielisz licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) i korzystasz z tego, że \(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha}\)
W trzecim: jest to trójkąt równoramienny. Opuść wysokość na tę podstawę. Dostaniesz trójkąt prostokątny (boki znasz, przeciwprostokątna to 5 cm, przyprostokątna (jedna - drugiej nie potrzebujesz) to 4 cm, oblicz cosinus kąta przy podstawie i z tablic odczytaj jaki to kąt.
W drugim za te wszystkie funkcje trygonometryczne podstaw odpowiednie ilorazy (z definicji funkcji trygonometrycznych), poprzekształcaj wykorzystując tw. Pitagorasa) i wyjdzie.
Pierwsze jest chyba najbardziej elementarne. Narysuj to, zauważ trójką prostokątny w którym znasz dwie przyprostokątne, oblicz odpowiednie ilorazy (przyda się tw. Pitagorasa do przeciwprostokątnej).

[kamil1994]

W zad.3 obliczyłem z \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{4}{5}}\) tw. Pitagorasa i wyszło mi 3 i jak obliczyc teraz te kąty?
Zad.2
W zad 2 wyszlo mi po przeksztalceniu \(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha - \cos ^{3} \alpha}{\sin \alpha -\sin ^{3} \alpha } = \frac{\cos \alpha \left( \cos ^{2} \alpha -1\right) }{\sin \alpha \left( \sin ^{2} \alpha -1\right) } =}\) dalej nie wiem co zrobic
Do zad.1 nie ma rysunku jest tylko podane to co w poleceniu nie wiem jak to zrobic, prosze o dalsze wskazówki.
Zad.4 Prosze o dalsze wskazówki, bo nie jestem w stanie tego zrobic.

[cosinus90]

3) Dla wyliczonego cosinusa kąta możesz sprawdzić w tablicach, jaki to kąt.
2) Po wyłączeniu z drobną różnicą :
\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha \left(1- \cos ^{2} \alpha\right) }{\sin \alpha \left(1- \sin ^{2} \alpha\right) }}\)
I teraz skorzystaj w nawiasach z jedynki trygonometrycznej.
1) Wiem że nie ma rysunku, pytałem czy umiesz go zrobić. Narysuj sobie to, co jest podane w zadaniu, a następnie podobnie jak w zad.3 opuść wysokość w powstałym trójkącie i wspomagając się twierdzeniem Pitagorasa oblicz co trzeba.
4) Czego nie jesteś w stanie zrobić? Powiedziałem wyraźnie, żebyś podzielił licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos \alpha}\). Innymi słowy, wyciągasz w liczniku i mianowniku \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos \alpha}}\) przed nawias.

[kamil1994]

Zad.2
\(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha \left(1- \cos ^{2} \alpha\right) }{\sin \alpha \left(1- \sin ^{2} \alpha\right) }= \frac{\cos \alpha \left( \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha -\cos ^{2} \alpha \right) }{\sin \alpha \left( \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha -\sin ^{2} \alpha \right) } = \frac{cos \alpha \left( \sin ^{2} \alpha \right) }{\sin \alpha \left( \cos ^{2} \alpha \right) } = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=tg \alpha}\)
prosze o sprawdzenie
Zad.3
wyjdzie mi z \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) z tabelki tg 60 stopni i co dalej?
Zad.1
narysowałem kwadrat i podzieliłem go na pół i wyszedł trójkąt prostokątny równoramienny oznaczyłem go ABE, AB=a BE=\(\displaystyle{ \frac{1}{2} a}\) i nie wiem jak oznaczyć bok AE

[cosinus90]

2) Dobrze.
3) Nie rozumiem pytania, skoro wyliczyłeś \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{4}{5}}\), to tangens tego kąta na pewno nie jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Po prostu sprawdź w tablicach, dla jakiego kąta cosinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\).
1) Długość przeciwprostokątnej oblicz z twierdzenia Pitagorasa.

[chris_f]

Do pierwszego: zrób wreszcie prawidłowo ten rysunek. Nie wyjdzie żaden trójkąt równoramienny!

[kamil1994]

Zad.3 wyszło mi \(\displaystyle{ \sqrt{9}}\) czyli 3, a nie ma 3 w tej tabeli wiec mam tutaj problem
Zad.4
Prosze o sprawdzenie

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = 2}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = 2\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{3\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -3\sin \alpha } = \frac{6\cos \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -6\cos \alpha } }= \frac{7\cos \alpha }{-5\cos \alpha } =- \frac{7}{5}}\)

[cosinus90]

3) Co tyle wyszło?
4) Tak, można zrobić to zadanie i w ten sposób - poprawny wynik.

[p2310]

zad.3
kąty przy podstawie to \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) oraz z własności trójkąta równoramiennego \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\)
z twierdzenia cosinusów
\(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2} +c ^{2}-2bc\cos \alpha}\)
gdzie
a i b to boki trójkąta, gdzie a=b
c to podstawa
kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt przeciwległy do boku a, a kąt \(\displaystyle{ \beta}\) przeciwległy do boku b
podstawiając otrzymujemy
\(\displaystyle{ 5 ^{2} =5 ^{2} +8 ^{2} -2*5*8*\cos \alpha}\)
po obliczeniach
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{4}{5}}\)
z tablic matematycznych odczytujemy cos kata dla 0,8
czyli
\(\displaystyle{ \alpha =36 ^{o}52 ^{`}}\)
i pamiętamy, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\)

[cosinus90]

p2310, stosowanie twierdzenia cosinusów jest tutaj zupełnie niepotrzebne (podejrzewam, że autor tematu jeszcze nie omówił go na lekcji). Jeśli zauważymy, że trójkąt ABC jest równoramienny, to po poprowadzeniu wysokości uzyskujemy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{4}{5}}\) natychmiast.