układ równań do rozwiązania

[leszczu450]

Cześć

Ten przykład nie daje mi spokoju... Muszę znależć kąt \(\displaystyle{ \beta}\) wiedząc, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \beta = \cos \alpha \\ \sin \beta = - \sin \alpha \end{cases}}\)

Z góry dziękuję za pomoc : )

PS: Postanowiłem założyć nowy temat z tym zadaniem i nie doczepiać się z nim do innego. To tak dla moderatorów : )

[Qń]

\(\displaystyle{ \beta = -\alpha}\)

Q.

[leszczu450]

Qń, no racja... A jak z takim czymś sobie poradzić:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \beta = -\cos \alpha \\ \sin \beta = \sin \alpha \end{cases}}\)

[konrad509]

Z drugiego równania jasno wynika, że \(\displaystyle{ \beta=\alpha}\).

[Qń]

Z drugiego równania jasno wynika, że \(\displaystyle{ \beta=\alpha}\).

Czyli Twoim zdaniem \(\displaystyle{ \sin 30^o\neq \sin 150^o}\)?

Odpowiedź to \(\displaystyle{ \beta = \pi - \alpha}\). Oczywiście w obu przykładach należy uwzględnić też wszystkie odpowiedzi różniące się od podanych o \(\displaystyle{ 2\pi}\).

Q.

[leszczu450]

Qń, ale jak to wyliczasz? Skąd to wiesz? Ja na to patrze i patrze i nic mi nawet do głowy nie przychodzi. Wytłumaczysz mi to tak jakbyś dziecku tłumaczył? : )

[wujomaro]

Sprawdzamy, w których ćwiartkach dana funkcja jest dodatnia lub ujemna.
Pozdrawiam!

[leszczu450]

Nadal nie rozumie. Mówicie do mnie takimi ogólnikami, że naprawde jeszcze mniej rozumiem z tego wszystkiego.

[Qń]

Jeśli nie widać odpowiedzi gołym okiem, to można na przykład tak - w obu układach jeśli zamienimy strony w jednym z równań i następnie pomnożymy równania stronami, otrzymamy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = - \sin \beta \cos \alpha}\)
skąd po przerzuceniu wszystkiego na jedną stronę i zastosowaniu wzoru na sinus sumy kątów dostajemy:
\(\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta ) = 0}\)
czyli \(\displaystyle{ \alpha + \beta = k\pi}\), więc \(\displaystyle{ \beta = k\pi -\alpha}\)

Ponieważ interesują nas rozwiązania z dokładnością do wielokrotności \(\displaystyle{ 2\pi}\) można stwierdzić, że oznacza to, że \(\displaystyle{ \beta = -\alpha}\) lub \(\displaystyle{ \beta = \pi - \alpha}\).

Trzeba jednak pamiętać, że dodając stronami nie otrzymamy równania równoważnego wyjściowemu układowi, dlatego trzeba jeszcze w obu układach sprawdzić które z tych dwóch rozwiązań pasuje. Pierwsze pasuje w pierwszym układzie, a drugie w drugim.

Q.

[leszczu450]

Qń, super !! Bardzo Ci dziękuję : ) Nie rozumiem tylko nadal dwóch ostatnich linijek. To odnośnie równoważności równań i sprawdzaniu wyników. Czemu nie ma równoważności i czemu w pierwszym układzie pasuje tylko Twoje pierwsze rozwiązanie, a nie oba?

[wujomaro]

Zależy od ćwiartek. W pierwszej i drugiej sinus jest dodatni. A cosinus jest dodatni w pierwszej, a ujemny w drugiej.
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \alpha= \sin \beta \\ \cos \alpha= - \cos \beta \end{cases}}\)
Z pierwszego równania pasowałoby nam, że \(\displaystyle{ \alpha= \beta}\), ale drugie wyklucza tę możliwość.
Pozdrawiam!