problem z wyliczeniem kąta

[leszczu450]

Cześć : )

Mam mianowicie następujący problem. Często podczas wyliczania kąta sinusa i cosinusa do postaci trygonometrycznej liczby zespolonej dochodze do układu równań np. takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha =-1 \\ \sin \alpha = 0 \end{cases}}\)

Tutaj akurat sprawa jest łatwa. Mogę to narysować i mi wychodzi, że \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\)
Jednak mam takie prszykłady gdzie rysunek już zawodzi i muszę sobie z tym inaczej poradzić. Znacie może jakiś inny sposób wyliczenia takiego układu?

PS: Mówiąc rysunek mam na myśli dwa wykresy, jeden sinusa, drugi cosinusa i znalezienie punktu wspólnego dla odpowiednich wartości.

Z góry dzięki za pomoc!

[cosinus90]

Z układu znajdujesz ćwiartkę, w której znajduje się kąt - jest tylko jedna, w której te dwie funkcje przyjmują poszczególne znaki.
Następnie, skoro znasz już ćwiartkę w której leży dany kąt, posługujesz się wzorami redukcyjnymi i znajdujesz go.

[leszczu450]

cosinus90, a zero jaki ma znak? : ) I jak tutaj byś to zrobił? Wikipedia daje fajny algorytm wyliczania tego kąta do postaci trygonometrycznej ale mimo wszystko nie wiedząc jak działa algorytm, jest on dla mnie nic wart. Więc proszę Cię o zrobienie tego przykładu który podałem. : ) Stawiam, że będzie to trzecia lub czwartwa ćwiartka. Ale co dalej? : )

[cosinus90]

Tutaj akurat sprawa jest łatwa. Mogę to narysować i mi wychodzi, że \(\displaystyle{ \alpha = \pi}\)
Jednak mam takie prszykłady gdzie rysunek już zawodzi i muszę sobie z tym inaczej poradzić.

Powiedziałeś, że to umiesz wyliczyć, i jest to wyliczone poprawnie. Podałem sposób dla kątów, które nie znajdują się na półosiach układu.

[leszczu450]

cosinus90, nie rozumiem co do mnie mówisz : )

[cosinus90]

Innymi słowy, przykład który podałeś w pierwszym poście, zrobiłeś poprawnie, więc nie widziałem sensu tłumaczenia go. Podałem sposób dla trudniejszych przypadków.

[leszczu450]

A jak mam sobie poradzić z tym?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \alpha = - \frac{1}{2} \\ \sin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)

Znajduję, że kąt ten leży w drugiej ćwiartce. I teraz intuicja mi podpowiada, że w takim razie \(\displaystyle{ \alpha = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4}{3} \pi}\). Jednak gdy wstawiam to rozwiązanie do Wolframa to jakies bzdury mi pokazuje.
Przykład jest taki: \(\displaystyle{ z= -1 + \sqrt{3}i}\). Mam tę liczbę przedstawić w postaci trygonometrycznej. Wyliczyłem moduł \(\displaystyle{ \left| z\right| =2}\) i kąt \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi}\). Moja liczba powinna więc wyglądać tak: \(\displaystyle{ z=2\left( \cos\left( \frac{4 \pi}{3} \right) + i \sin\left( \frac{4 \pi}{3} \right) \right)}\)

Co jest w takim razie źle?

[cosinus90]

Niestety nie, bo kąt który napisałeś leży w trzeciej ćwiartce. Należy odjąć :
\(\displaystyle{ \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}}\).

[leszczu450]

cosinus90, mój bład. Powinno tam być wszędzie\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) zamiast \(\displaystyle{ \pi}\). Czy znów coś pokręciłem?

[cosinus90]

Korzystanie z kątów połówkowych przy wzorach redukcyjnych jest niebezpieczne, bo dla takich kątów funkcja przechodzi w kofunkcję i tutaj zrobiłeś błąd przez to. Mianowicie
\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha}\)
A tutaj się to nie zgadza.
Lepiej jest korzystać z "całych" kątów, czyli ze wzoru
\(\displaystyle{ \sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha}\)
Dla większych kątów oczywiście lepiej stosować \(\displaystyle{ 2\pi}\) przy wzorach redukcyjnych niż \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\).

[leszczu450]

cosinus90, a może być \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}}\)

-- 6 kwi 2013, o 17:32 --

OK ! Teraz to już wszystko rozumiem! Dzięki wielkie kolego! : ))-- 6 kwi 2013, o 17:37 --cosinus90, a jak sobie poradzić w takiej sytuacji z tym kątem?
\(\displaystyle{ z= \cos \alpha - i \sin \alpha}\)

Dochodzę do takiego układu równań i nie wiem co mam dalej robić:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos \beta = \cos \alpha \\ \sin \beta = - \sin \alpha \end{cases}}\)

[cosinus90]

Zastosuj funkcje cyklometryczne.