Równanie trygonometryczne

[Jadranko]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}+ \sqrt{3}-1= \frac{ \sqrt{3}\cos x }{\sin x}}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;2 \pi )}\)

Zupełnie nie wiem jak to zrobić, zrobienie wspólnego mianownika nic nie daje...

[Errichto]

Podstaw zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t= \tg x}\)

[Jadranko]

Po podstawieniu dostaję coś takiego:
\(\displaystyle{ t _{1}=0 \vee t _{2}=1- \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \tg x =0 \vee \tg x=1- \sqrt{3}}\)

Odpowiedź autora zbioru: \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{4} ; \frac{2 \pi }{3} ; \frac{5 \pi }{4} ; \frac{5 \pi }{3} \right\}}\)
Co robię źle?

[piasek101]

Pokaż skąd to masz.

[Errichto]

Jakiś błąd rachunkowy musisz mieć. Równanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ t+ \sqrt{3} -1 = \frac{ \sqrt{3} }{t}}\)
i ma rozwiązania nieco inne niż te, które Ci wyszły (a gdyby jednak wyszło zero, to trzeba pamiętać, że nie należy do dziedziny bo wtedy mielibyśmy na początku dzielenie przez zero)

[Jadranko]

Znalazłem błąd, powinno wyjść tak:
\(\displaystyle{ \tg x = - \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \tg x = 1}\)

[Errichto]

zgadza się.