Dziedzina i zbiór wartości funkcji

[Jadranko]

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji danej wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1-\sin ^{4}x-\cos ^{4}x }{1-\cos ^{2}x-\sin ^{6}x}}\)

Z dziedziną nie miałem problemów: \(\displaystyle{ x \in \RR \setminus \left\{ \frac{k \pi }{2} \right\}}\)

Co mam zrobić aby wyznaczyć zbiór wartości powyższej funkcji?

[matematyk1995]

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i ze wzoru na różnice kwadratów.

[Jadranko]

Jeżeli chcę wyznaczyć zbiór wartości funkcji takiej jak ta, to licznik przyrównuję do zera? czy robię nierówność?

[kamil13151]

Najlepiej w takim przypadku wszystko zamienić na jedną niewiadomą. Zastosuj sobie podstawienie: \(\displaystyle{ \begin{cases} a= \sin x \\ b= \cos x \end{cases}}\) i wiedząc, że \(\displaystyle{ a^2+b^2=1}\) zrób tak by została tylko zmienna \(\displaystyle{ a}\), a potem zastosuj rozkładanie wielomianu na czynniki, dużo się skróci.

[matematyk1995]

Najlepiej przekształć tą funkcje w najprostszą postać, z której ładnie widać zbiór wartości. Zrób tak, jak radzi kamil13151. Jest najprosciej .

[Jadranko]

Po podstawieniu wyszło mi:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{1- b^{3} }}\)

Co dalej?

[kamil13151]

Gdzieś masz błąd, sprawdź rachunki.

[Jadranko]

Błąd się znalazł, teraz wynik po uproszczeniu wygląda tak:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{1+b+b ^{2} }}\)

[kamil13151]

Szukaj dalej Albo zamieść cały zapis tutaj to Ci wskażę błąd.

[Jadranko]

Licznik: \(\displaystyle{ 1-a ^{4} -b ^{4}=1-(a ^{2}) ^{2}-b ^{4}=1-(1-2b ^{2}+b ^{4})-b ^{4}=1-1+2b ^{2}-b ^{4}-b ^{4}=2b ^{2}-2b ^{4}}\)
Mianownik: \(\displaystyle{ 1-a ^{2}-b ^{6}=1-(1-b ^{2})-b ^{6}=1-1+b ^{2}-b ^{6}=b ^{2}-b ^{6}}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2b ^{2}-2b ^{4}}{b ^{2}-b ^{6}}= \frac{b ^{2}(2-2b) }{b ^{2}(1-b ^{3}) }= \frac{2b-b}{1-b ^{3} }= \frac{2(1-b)}{(1-b)(1+b+b ^{2}) }= \frac{2}{1+b+b ^{2}}}\)

uffff....

[Cambrinus]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2b ^{2}-2b ^{4}}{b ^{2}-b ^{6}}=\frac{b ^{2}(2-2b^{2}) }{b ^{2}(1-b ^{4}) }}\)

[Jadranko]

Z tego wyżej wychodzi:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{2}{1+b ^{2} }}\)

I jak z tego określić zbiór wartości?

[kamil13151]

Przyjąłeś, że \(\displaystyle{ b= \sin x}\). Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ b \in [-1;1]}\) to \(\displaystyle{ b^2 \in [0,1]}\), a z tego wynika, że zbiór wartości mianownika to \(\displaystyle{ [1,2]}\). Zatem jakie wartości może przyjmować cały ułamek? Jeśli dobrze odpowiesz to pokażę Ci jak algebraicznie do tego dojść.

[Jadranko]

Skoro wartość mianownika to \(\displaystyle{ [1,2]}\), to wartości całego ułamka też muszą należeć do przedziału \(\displaystyle{ [1,2]}\). Dobrze mówię?

[kamil13151]

Odpowiedź jest poprawna, ale czy przypadkiem nie myślałeś tak, że skoro mianownik ma taki zbiór to całość ma taki sam? Jakbyśmy mieli np. \(\displaystyle{ f \left( b \right) = \frac{3}{1+b ^{2} }}\) to przedział \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{2},3 \right]}\) byłby zbiorem wartości.

Metoda algebraiczna, wyjdźmy od faktu:

\(\displaystyle{ 1 \ge b^2 \ge 0 \ \iff \ 2 \ge 1+b^2 \ge 1 \ \iff \ \frac{1}{2} \le \frac{1}{1+b^2} \le 1 \ \iff \ 1 \le \frac{2}{1+b^2} \le 2}\)