Rownanie trygonometryczne

[rupietek]

Witam, rozwiazujac pewne zadanko doszedlem do rownania trygonometrycznego ktorego postac wyglada nastepujaco:

\(\displaystyle{ (\sin x + \cos x)^3 - (\sin x -\cos x)^2=0}\)

Rozbilem to i zaczalem liczyc jednak jest to czasochlonna metoda i postanowilem szukac czegos lepszego... niestety nie znalazlem, macie jakies pomysly?

Pozdrawiam

[mortan517]

Jak to liczyłeś? Może podstawienie pod \(\displaystyle{ \sin 2x}\) ? Albo \(\displaystyle{ \cos}\) zamień na \(\displaystyle{ \sin}\)

[rupietek]

no wlasnie z \(\displaystyle{ \sin 2x}\) raczej nic nie daje a z przeharceniem wszystkiego na cosinusa to sprobuje dopiero w domu... ale mysle czy nie ma czegos w stylu "latwo widac ze"

-- 4 kwi 2013, o 08:37 --

moje rozwiazanie polegalo na zastosowaniu tozsamosci trygonometrycznej na wzor \(\displaystyle{ \sin x + \cos x}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x - \cos x}\) otrzymalem rownanie szescienne wiec pozniej skorzystalem z wzorow Cardano. Wynik byl dobry jednak sadze ze jest lepsza metoda gdyz mysialem zaokraglac co nie jest satysfakcjonujace.

Gdyby ktos mial jakis pomysl...

Pozdrawiam

[mortan517]

Przepraszam, że odkopuje tak stary temat, ale zdziwił mnie troszeczkę powyższy post, wzory Cardano ? yy Jeżeli w moich obliczeniach jest gdzieś błąd to zwracam honor, ale tak mnie naszło i pokaże swoje rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \left( \sin x + \cos x \right) ^3 - \left( \sin x -\cos x \right) ^2 = 0 \\
\left( 2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \right) ^3 - \left( 2\cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \right) ^2 = 0 \\
\left( 2\sin \frac{ x + x }{2} \cos \frac{ x - x }{2} \right) ^3 - \left( 2\cos \frac{ x + x }{2} \sin \frac{ x - x }{2} \right) ^2 = 0 \\
\left( 2\sin \frac{ 2x }{2} \cos \frac{ 0 }{2} \right) ^3 - \left( 2\cos \frac{ 2x }{2} \sin \frac{ 0 }{2} \right) ^2 = 0\\
\left( 2\sin x \cos 0 \right) ^3 - \left( 2\cos x \sin 0 \right) ^2 = 0\\
\left( 2 \sin x \right) ^3 = 0 \\
\sin x = 0}\)

no i dalej wiadomo

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \left( \sin x + \cos x \right) ^3 - \left( \sin x -\cos x \right) ^2 = 0 \\
\left( 2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \right) ^3 - \left( 2\cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \sin \frac{ \alpha - \beta }{2} \right) ^2 = 0 \\
\left( 2\sin \frac{ x + x }{2} \cos \frac{ x - x }{2} \right) ^3 - \left( 2\cos \frac{ x + x }{2} \sin \frac{ x - x }{2} \right) ^2 = 0}\)

Już na samym początku blefujesz Używasz wzorów, które się odnoszą do czego innego.

Zadanie można rozwiązać bardzo prosto: 307432.htm

[mortan517]

OK. Widzę już swój błąd. Dzięki.