zadania różne

[davidd]

1. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ 2\sin ^{2} x \cos x = \sin x
2\cos x - 2 \cos ^{3}x = \sin x}\)

dalej nie wiem co zrobić...

2. Narysuj funkcję \(\displaystyle{ f(x) =2 \cos x \left| \sin x \right|}\) w przedziale \(\displaystyle{ <0,2 \pi >}\)

Rozbijam moduł, mam dwie funkcje ale nie wiem jak je narysować za bardzo...

3. Wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin x - \cos x = \frac{1}{3}}\) oblicz \(\displaystyle{ \cos 4x}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{3} - \sin x}\)

[Ser Cubus]

co do pierwszego, zamien sinusa z jedynki trygonometrycznej, a następnie rozwiąż równanie wieomianowe, podstawiając
\(\displaystyle{ t = \cos x}\)

[Dilectus]

2. Tam, gdzie \(\displaystyle{ \sin x \ge 0}\), a więc dla \(\displaystyle{ x \in (2k\pi, (2k+1)\pi)}\) mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2\sin x \cos x=\sin2x}\)

Tam, gdzie \(\displaystyle{ \sin x <0,}\) a więc dla \(\displaystyle{ x \in (2k+1)\pi, 2(k+1)\pi)}\) mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=-2\sin x \cos x=-\sin2x}\)

To teraz ogranicz dziedzinę do przedziału \(\displaystyle{ [0,2 \pi]}\) i narysuj...

[davidd]

co do 1, jak zamienić sinusa z jedynki skoro nie ma tam kwadratu sinusa, ale zwykły sinus?

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \sin^{2}x + \cos^{2}x=1 \Rightarrow \sin x = \sqrt{1- \cos^{2}x}}\)
Pozdrawiam!

[yorgin]

\(\displaystyle{ 3.\\
\\
(\sin x-\cos x)^2=1-2\sin x\cos x=\frac{1}{9}}\)

\(\displaystyle{ \cos 4x=\cos^22x-\sin^2 2x=2\cos^22x-1=2(\cos^2x-\sin^2x)^2-1=\\
\\
2(\cos x-\sin x)^2(\cos x+\sin x)^2-1}\)

\(\displaystyle{ (\cos x+\sin x)^2=1+2\sin x\cos x}\)

Reszta do doliczenia.

[davidd]

Jeszcze odnośnie zadania 2.
Wychodzi mi:
\(\displaystyle{ 4t ^{6} + 5t ^{2} -1 = 0}\)

Źle?