trygonometria - parametry

[listek242]

\(\displaystyle{ \cos 2x +3\cos x - a = 0}\)

Trzeba powiedzieć dla jakiego parametru istnieje rozwiązanie, nie mam nawet odpowiedzi do tego i nie umiem nic wymyślić poza tym, że zbiór wartości \(\displaystyle{ \cos \left\langle -1;1\right\rangle}\)
a \(\displaystyle{ \tg}\) to wszystkie liczby rzeczywiste...

\(\displaystyle{ \tg ^2x + \tg x + a = 0}\)

[loitzl9006]

Co do przykładu z cosinusami, to przesuń parametr \(\displaystyle{ a}\) na prawo, a następnie znajdź zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \cos 2x + 3\cos x}\). Szukany zbiór wartości będzie rozwiązaniem zadania.

Jak znaleźć zbiór wartości? Wykorzystaj własność \(\displaystyle{ \cos 2x=2\cos^2 x-1}\) a następnie podstaw \(\displaystyle{ \cos x=t}\) gdzie \(\displaystyle{ t \in \left\langle -1;1\right\rangle}\) - będziesz mieć kawałek funkcji kwadratowej określony dla argumentów od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) - możesz sprawdzić jaki jest wierzchołek (i wartość najmniejsza) funkcji, itd... napisz czy w ogóle rozumiesz

[listek242]

Hm, no chyba tak. Czyli najmniejsza wartość funkcji to \(\displaystyle{ -17/8}\) dla argumentu \(\displaystyle{ -3/4}\) tak? Ale co z tym dalej?

[loitzl9006]

Zgadza się, najmniejszą wartość masz, teraz szukasz największej (najbardziej oddalonej od wierzchołka). Używaj LaTeX-a.

[listek242]

Przepraszam, po prostu nie za bardzo umiem się tym posługiwać, ale obiecuję, że wieczorem o tym poczytam, tylko bardzo proszę o wytłumaczenie dalsze.. jak mam znaleźć tę wartość i jak ma się ona do ostatecznego rozwiązania?

Aaa, liczę wartość dla -1 i 1, tak? (w ten funkcji ze zmienną t). Ale co dalej?

[loitzl9006]

Aaa, liczę wartość dla -1 i 1, tak? (w ten funkcji ze zmienną t).

Właśnie o to chodzi, zauważasz że \(\displaystyle{ 1}\) jest najbardziej oddalona od \(\displaystyle{ -3/4}\) (wierzchołka) bo ta funkcja z \(\displaystyle{ t}\) to funkcja kwadratowa - jej wykresem jest parabola z ramionami w górę a więc w wierzchołku przyjmuje najmniejszą wartość, zaś im bardziej oddalony argument \(\displaystyle{ (t)}\) od wierzchołka - tym funkcja przyjmuje wyższą wartość - stąd dla \(\displaystyle{ t=1}\) wartość największa

Ale co dalej?

Dalej piszesz zbiór wartości funkcji z \(\displaystyle{ t}\) - i to jest rozwiązanie. Takie wartości może przyjmować parametr \(\displaystyle{ a}\) - w końcu \(\displaystyle{ \cos 2x +3\cos x=a}\).

[listek242]

Ale dlaczego lewa strona przedziału to to -17/8, skoro najmniejsza wartość t to miała być -1? ;/

Rozwiązanie to a należące do <-17/8; 3>?

Dzięki za cierpliwość i wybacz texa...

[loitzl9006]

Ale czemu \(\displaystyle{ 3}\) ?
Masz funkcję \(\displaystyle{ f(t)=2t^2+3t-1}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ f(1)}\) ?

[listek242]

No tak, 4... a lewa strona przedziału się zgadza?

I jeszcze jedno pytanie: powinnam też sprawdzić wartość f(-1)? Gdyby była mniejsza od -3/4 to ona byłaby lewym końcem przedziału?

-- 1 kwi 2013, o 14:05 --

\(\displaystyle{ cosx + cos(x+ \frac{2}{3}\pi) = a^{2} - 1}\)
To jest poprawnie napisane? Jeżeli to proszę jeszcze o jakąś wskazówkę czy coś...

[loitzl9006]

I jeszcze jedno pytanie: powinnam też sprawdzić wartość f(-1)? Gdyby była mniejsza od -3/4 to ona byłaby lewym końcem przedziału?

Niekoniecznie bo to parabola - wartość będzie największa dla \(\displaystyle{ 1}\) - bo jest bardziej oddalona od \(\displaystyle{ -3/4}\).

Co do \(\displaystyle{ \cos x + \cos (x+ \frac{2}{3}\pi) = a^{2} - 1}\)

to podstaw na razie \(\displaystyle{ a^2-1=t}\)

A potem skorzystaj ze wzoru na sumę cosinusów - napisz co dostajesz.