Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{ \pi }{4})}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin ^{2}x \cdot (\cos x - \sin x)} > 8}\) .
Sam nie daję rady
nierówność trygonometryczna - x od zera do pi czwartych
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 29 mar 2013, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
nierówność trygonometryczna - x od zera do pi czwartych
Ostatnio zmieniony 29 mar 2013, o 21:12 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
nierówność trygonometryczna - x od zera do pi czwartych
Stosując podstawienie \(\displaystyle{ t= \tg x}\), \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ \sin^2 x= \frac{t^2}{1+t^2}}\) oraz:
\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin ^{2}x \cdot (\cos x - \sin x)} = \frac{1}{\sin^2 x(1-\tg x)}= \frac{t^2+1}{t^2(1-t)}}\)
Pozostaje pokazać: \(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t^2(1-t)}>8}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), co możemy zapisać jako: \(\displaystyle{ 8t^3-7t^2+1>0}\).
\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin ^{2}x \cdot (\cos x - \sin x)} = \frac{1}{\sin^2 x(1-\tg x)}= \frac{t^2+1}{t^2(1-t)}}\)
Pozostaje pokazać: \(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t^2(1-t)}>8}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), co możemy zapisać jako: \(\displaystyle{ 8t^3-7t^2+1>0}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
nierówność trygonometryczna - x od zera do pi czwartych
Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ t= \tg x}\) to \(\displaystyle{ t^2= \tg^2 x = \frac{\sin^2 x }{\cos^2 x}= \frac{\sin^2 x }{1- \sin^2 x}}\). Teraz tylko wyciągnąć \(\displaystyle{ \sin^2 x}\).