nierówność trygonometryczna - x od zera do pi czwartych

[julo]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Wykaż, że dla \(\displaystyle{ x \in (0; \frac{ \pi }{4})}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin ^{2}x \cdot (\cos x - \sin x)} > 8}\) .

Sam nie daję rady

[kamil13151]

Stosując podstawienie \(\displaystyle{ t= \tg x}\), \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ \sin^2 x= \frac{t^2}{1+t^2}}\) oraz:
\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\sin ^{2}x \cdot (\cos x - \sin x)} = \frac{1}{\sin^2 x(1-\tg x)}= \frac{t^2+1}{t^2(1-t)}}\)

Pozostaje pokazać: \(\displaystyle{ \frac{t^2+1}{t^2(1-t)}>8}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), co możemy zapisać jako: \(\displaystyle{ 8t^3-7t^2+1>0}\).

[julo]

wielkie dzięki !

[denatlu]

\(\displaystyle{ \sin^2 x= \frac{t^2}{1+t^2}}\)

Na to trzeba wpaść, czy to jest jasne i wiadome?

[kamil13151]

Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ t= \tg x}\) to \(\displaystyle{ t^2= \tg^2 x = \frac{\sin^2 x }{\cos^2 x}= \frac{\sin^2 x }{1- \sin^2 x}}\). Teraz tylko wyciągnąć \(\displaystyle{ \sin^2 x}\).