Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\cos x}\). Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ t\in<-\pi,\pi>}\), równanie \(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{3}}(x+1)-\log_{\frac{1}{3}}x-f(2t)=0}\) ma rozwiązania.
\(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{3}}\frac{x+1}{x}=\cos 2t}\)
I dalej nie wiem o co chodzi. Ja zwyczajnie nie wiem jak to pytanie ma się do tego co dostałem.
\poprawiłem treść zadania
Równanie trygonometryczne z parametrem
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Równanie trygonometryczne z parametrem
Brakuje kawałka treści. Może tam być "Ma rozwiązanie", 'ma nieskończenie wiele rozwiązań", "jest spełnione dla wszystkich x" itp. Bez tego to jest zgaduj-zgadula.
Teraz moje bardzo niepewne przypuszczenie. Z racji postaci tego równania mamy \(\displaystyle{ f(2t)=\cos2t}\).
Mamy wtedy równanie
\(\displaystyle{ \log_{\frac13}(x+1)-\log_{\frac13}x-\cos2t=0}\)
Teraz przenosimy tego cosinusa na prawo, po lewej sprowadzamy do logarytmu ilorazu (pamiętając cały czas o dziedzinach, to jest tylko zabawa, więc tego nie robię)
\(\displaystyle{ \log_{\frac13}\frac{x+1}{x}=\cos2t}\)
No i teraz można jedynie dywagować, bo po prawej jest cosinus, który jest ograniczony (ale to nie da nam żadnych warunków na \(\displaystyle{ t}\), tylko może na \(\displaystyle{ x}\)).
A może chodzi o to kiedy te równania są równoważne (bo w pewnych przypadkach są).
Może chodzi o pytanie: dla jakich \(\displaystyle{ x}\) to równanie nie ma rozwiązania?
Jeżeli dostałeś to przez telefon albo maila, to masz pewnie obcięty obrazek.
Teraz moje bardzo niepewne przypuszczenie. Z racji postaci tego równania mamy \(\displaystyle{ f(2t)=\cos2t}\).
Mamy wtedy równanie
\(\displaystyle{ \log_{\frac13}(x+1)-\log_{\frac13}x-\cos2t=0}\)
Teraz przenosimy tego cosinusa na prawo, po lewej sprowadzamy do logarytmu ilorazu (pamiętając cały czas o dziedzinach, to jest tylko zabawa, więc tego nie robię)
\(\displaystyle{ \log_{\frac13}\frac{x+1}{x}=\cos2t}\)
No i teraz można jedynie dywagować, bo po prawej jest cosinus, który jest ograniczony (ale to nie da nam żadnych warunków na \(\displaystyle{ t}\), tylko może na \(\displaystyle{ x}\)).
A może chodzi o to kiedy te równania są równoważne (bo w pewnych przypadkach są).
Może chodzi o pytanie: dla jakich \(\displaystyle{ x}\) to równanie nie ma rozwiązania?
Jeżeli dostałeś to przez telefon albo maila, to masz pewnie obcięty obrazek.
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Równanie trygonometryczne z parametrem
No to baaardzo dużo wyjaśnia.
Rzecz, która jest pod logarytmem, musi spełniać następujące warunki:
\(\displaystyle{ x+1>0\wedge x>0\wedge \frac{x+1}{x}>0}\)
Oczywiście wobec dwóch pierwszych warunków, natychmiast jest spełniony trzeci, czyli rozważamy pierwsze dwa, co daje nam warunek: \(\displaystyle{ x>0}\).
Teraz zastanówmy się jakie wartości przyjmuje najpierw funkcja
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{x}=1+\frac1x}\)
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) bo tak wcześniej ustaliliśmy, otrzymujemy, ze to wyrażenie przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (1,\infty)}\) Pomyśl dlaczego
To teraz zastanówmy się jakie wartości przyjmie
\(\displaystyle{ \log_{\frac13}\frac{x+1}{x}}\)
Jeżeli spojrzymy na wykres funkcji logarytmicznej, której podstawa jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\), (w naszym przypadku \(\displaystyle{ \frac13}\)), to dostaniemy, że wartości tej funkcji tworzą przedział \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\).
Oznacza, to, że prawa strona tej nierówności, musi spełniać zależność
\(\displaystyle{ \cos(2t)\in(-\infty,0)}\)
czyli, wobec "wyglądu" funkcji cosinus
\(\displaystyle{ \cos(2t)<0}\).
No i teraz pozostaje tylko rozwiązać taką nierówność trygonometryczną, korzystając choćby z wykresu dostajemy
\(\displaystyle{ 2t\in\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}}\)
co po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) da nam ostateczną odpowiedź
\(\displaystyle{ t\in\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{3\pi}{4}+k\pi}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}}\)
Rzecz, która jest pod logarytmem, musi spełniać następujące warunki:
\(\displaystyle{ x+1>0\wedge x>0\wedge \frac{x+1}{x}>0}\)
Oczywiście wobec dwóch pierwszych warunków, natychmiast jest spełniony trzeci, czyli rozważamy pierwsze dwa, co daje nam warunek: \(\displaystyle{ x>0}\).
Teraz zastanówmy się jakie wartości przyjmuje najpierw funkcja
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{x}=1+\frac1x}\)
Dla \(\displaystyle{ x>0}\) bo tak wcześniej ustaliliśmy, otrzymujemy, ze to wyrażenie przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (1,\infty)}\) Pomyśl dlaczego
To teraz zastanówmy się jakie wartości przyjmie
\(\displaystyle{ \log_{\frac13}\frac{x+1}{x}}\)
Jeżeli spojrzymy na wykres funkcji logarytmicznej, której podstawa jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 1}\), (w naszym przypadku \(\displaystyle{ \frac13}\)), to dostaniemy, że wartości tej funkcji tworzą przedział \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\).
Oznacza, to, że prawa strona tej nierówności, musi spełniać zależność
\(\displaystyle{ \cos(2t)\in(-\infty,0)}\)
czyli, wobec "wyglądu" funkcji cosinus
\(\displaystyle{ \cos(2t)<0}\).
No i teraz pozostaje tylko rozwiązać taką nierówność trygonometryczną, korzystając choćby z wykresu dostajemy
\(\displaystyle{ 2t\in\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}}\)
co po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 2}\) da nam ostateczną odpowiedź
\(\displaystyle{ t\in\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{3\pi}{4}+k\pi}\right),\qquad k\in\mathbb{Z}}\)