Wartości parametru m

[Peter Zof]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ \sin^{2} x+\sin x+m=0}\)?
\(\displaystyle{ t=\sin x \wedge t \in \left[ -1,1\right]}\)
otrzymuję: \(\displaystyle{ t^{2}+t+m=0}\)

Jeżeli ma mieć rozwiązania tzn, że delta albo będzie równa zero albo większa od zera
Rozpatrując te sytuację mam:

\(\displaystyle{ \Delta=0 \Rightarrow m= \frac{1}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta >0 \Rightarrow m< \frac{1}{4}}\)
co ogólnie zapisuję: \(\displaystyle{ m \le \frac{1}{4}}\)

Wiem, że muszę rozpatrzeć tą funkcję w przedziale: \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) jednak nie mam pomysłu co dalej. Udało mi się odnaleźć pierwszą współrzędną wierzchołka \(\displaystyle{ p=- \frac{1}{2}}\)

Bardzo proszę o pomoc

[TVN 7]

To \(\displaystyle{ m \le \frac{1}{4}}\) to już odp. do zadania

[kamil13151]

To \(\displaystyle{ m \le \frac{1}{4}}\) to już odp. do zadania

Zastanów się zanim napiszesz jakąś głupotę.

Równoważnie: \(\displaystyle{ - \sin^2 x - \sin x=m}\) i teraz pytanie główne zamienia się w pytanie: Jaki jest zbiór wartości lewej strony?

[Peter Zof]

Nie wiem czy dobrze myślę, ale wydaje mi się że: \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\)

@EDIT: Kurczę napisałem dziedzinę sorka Nie mam pojęcia jak wyznaczyć Zbiór wartości :/

[kamil13151]

Niech \(\displaystyle{ t= \sin x}\), wówczas nasze pytanie obraca się w następujące: Jaki jest zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(t)=-t^2-t}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\), możesz sobie np. narysować wykres w tym przedziale i z niego odczytać.

[Peter Zof]

Wyszło mi, że: \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{4} \right]}\)

[kamil13151]

Czy wartość dla \(\displaystyle{ t=1}\) znajduje się w Twoim zbiorze?

[Peter Zof]

Nie

@EDIT: Jednak nadal nie mam pojęcia po co liczyć ten zbiór wartości

[kamil13151]

Tak naprawdę podałeś zbiór wartości dla \(\displaystyle{ t \in [-1,0]}\), coś z rysunkiem masz nie tak albo źle odczytałeś.

Równoważnie: \(\displaystyle{ - \sin^2 x - \sin x=m}\) i teraz pytanie główne zamienia się w pytanie: Jaki jest zbiór wartości lewej strony?

Pytają nas dla jakich \(\displaystyle{ m}\) równanie będzie miało jakiekolwiek rozwiązanie, a jeżeli znajdziemy jakie wartości może przyjąć lewa strona to tym samym dowiemy się jakie mogą być \(\displaystyle{ m}\) by równanie nie było sprzeczne.

[Peter Zof]

A tam nie powinno być po prawej zamiast \(\displaystyle{ m}\) to \(\displaystyle{ -m}\)?

@EDIT: Sorka nie zauważyłem, że pomnożyłeś przez \(\displaystyle{ -1}\)

Zrobiłem tak, policzyłem wartość funkcji dla jedynki i teraz widzę już że będzie miało chociaż jedno rozwiązanie jeżeli \(\displaystyle{ m \in \left[ -2, \frac{1}{4} \right]}\). Naprawdę bardzo dziękuje za cierpliwość i pomoc

[kamil13151]

Wynik, który podałeś jest poprawny. Dla lepszego zrozumienia możesz sobie narysować wykres funkcji \(\displaystyle{ y=- \sin^2 x - \sin x}\) (np. w programie GeoGebra) i odczytać z niego rozwiązanie.