Równanie trygonometryczne - bez wzorów na połówki.

[czosnek112]

Witam!

Chciałbym wykonać zadawnie moim sposobem bez wykorzystania wzorów na połówki kątów.

\(\displaystyle{ \sin ^{4}\left( \frac{x}{2} \right) + \cos ^{4}\left( \frac{x}{2} \right) = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ (1) x \in \left\langle -\pi , \pi \right\rangle}\)

Podstawiam
\(\displaystyle{ (2) \frac{x}{2} \right = y}\)
Z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin ^{4}y= \cos ^{4}y - 2\cos ^{2}y + 1}\)
I otrzymuję
\(\displaystyle{ 2\cos ^{4}y -2\cos ^{2}y + \frac{3}{8} = 0}\)
Znowu podstawiam:\(\displaystyle{ z=\cos ^{2}y \in \left\langle 0,1\right\rangle}\)
Po rozwiązaniu równania:
\(\displaystyle{ z=1,5 \vee z=0,5}\)
pierwsze rozwiązanie niezgodne z założeniem.
Pierwiastkuję i mam \(\displaystyle{ \cos y= \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Stąd \(\displaystyle{ y \in \left\{ \pm \frac{\pi}{4}, \pm \frac{3 \pi}{4} \right\}}\)
Przypominam o podstawieniu \(\displaystyle{ (2)}\) a z założenia \(\displaystyle{ (1)}\) wynika, żę \(\displaystyle{ \pm \frac{3 \pi}{4}}\) odpają.
I zostaje nam \(\displaystyle{ x \in \left\{ \pm \frac{\pi}{2} \right\}}\).

Co jest złą odpowiedzią, proszę o przedstawienie błędów w moim rozumowaniu.

[pyzol]

Nie mam siły szukać błędu. Jednak lepiej skorzystać z jedynki w ten sposób:
\(\displaystyle{ 1=\left(\sin^2 t+\cos^2 t \right)^2=\sin^4 t+\cos^4 t+2\sin^2 t\cos ^2 t}\)
Z czego wynika, że:
\(\displaystyle{ \sin^4 t+\cos^4 t=1-2\sin^2 t \cos^2 t=1-\frac{\sin^2 2t}{2}}\)

[czosnek112]

czyli:

\(\displaystyle{ \frac{5}{8} = 1 - \sin ^{2}(2t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{8} = \sin ^{2}(2t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2\sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{6} }{4} = \sin(2t)}\)

nie jestem w stanie podać "ładnego" 2t dla którego sinus przyjmuje taką wartość.
Chyba, że robię coś źle.

Z góry dziękuję za odpowiedź.

[pyzol]

Przecież tam jest przez 2, dzielone, więc wyjdzie:
\(\displaystyle{ \sin^2 2t=\frac{3}{4}}\)