Równanie trygonometryczne

[angel10]

Ma równanie: \(\displaystyle{ \sin x +\cos x+2 \sin x \cos x=1}\) i żadnego pomysłu na rozwiązanie. Próbowałem już zamieniać \(\displaystyle{ 2 \sin x \cos x}\) na \(\displaystyle{ \sin 2x}\), potem dodawać dwa sinusy, ale nic z tego nie wychodziło... Próbowałem też zamieniać cosunus na kofunkcję, ale też nic to nie dawało.

[kamil13151]

Ciekawy przykład

\(\displaystyle{ \sin x +\cos x+2 \sin x \cos x=1 \\
\sin x +\cos x+1+ 2 \sin x \cos x=2 \\
\sin x +\cos x+\sin^2 x+ 2 \sin x \cos x + \cos^2 x=2 \\
\sin x +\cos x+(\sin x +\cos x)^2=2}\)

Teraz zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ \sin x +\cos x=t}\) i masz do rozwiązania \(\displaystyle{ t+t^2=2}\).

Ostatecznie będziesz miał: \(\displaystyle{ \sin x +\cos x=1}\).

Teraz wykonujemy przekształcenia lewej strony: \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)}\).

W ostateczności do rozwiązania masz: \(\displaystyle{ \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)=1}\).

Analogiczną metodę zastosowałem tutaj: 307432.htm

[angel10]

Wow, niezły pomysł . Mam też jeszcze jedno, którego nie mogę rozkminić. \(\displaystyle{ \frac{4}{\sin 5x}+ \frac{3}{\cos 5x} =5}\). Tutaj chciałem wyłączyć z lewej strony \(\displaystyle{ \cos 5x}\) przed nawias, bo chciałem uzyskać tangens, ale skoro po prawej stronie jest jeszcze \(\displaystyle{ 5}\), to ten sposób mi nic nie dawał...

[kamil13151]

Proszę zwrócić uwagę na komentarz pod postem. Również nie dodaje się następnych zadań w wątku, tylko tworzy nowy temat - proszę przeczytać regulamin.

Co do zadania:
Na początku dziedzina, potem pomnóż obustronnie przez \(\displaystyle{ \sin 5x \cos 5x}\) i zrób analogiczny myk jak wyżej.

[stanley12]

dlaczego odrzucamy drugie rozwiązanie równana \(\displaystyle{ t^2+t=2}\)?

[wujomaro]

Bo \(\displaystyle{ \sin x + \cos x}\) nie może równać się\(\displaystyle{ -2}\).
Pozdrawiam!