Twierdzenie cosinusów

[kejszi]

1.Na boku BC trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt M taki, że \(\displaystyle{ BM= \frac{1}{3}MC}\). Wykaż ,że sinus kąta CAM jest równy \(\displaystyle{ \frac{(3 \sqrt{39} )}{26}}\)

2. W trójkącie boki mają długość \(\displaystyle{ a, b, c,}\) natomiast miary kątów są odpowiednio równe \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\). Wykaż, że jeśli\(\displaystyle{ a \cdot \cos\beta = b \cdot \cos \alpha}\), to ten trójkąt jest równoramienny.

W jaki sposób rozwiązać te zadania z wykozystaniem twierdzenia cosinusów?

[kamil13151]

1) Teza zadania równoważna jest pokazaniu, że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \sqrt{1- \frac{9 \cdot 39}{26^2} }}\). Wypisz twierdzenie cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ AMC}\). By zredukować długość boku trójkąta potrzebna Ci długość czewiany \(\displaystyle{ AM}\), do tego możesz szybko wykorzystać twierdzenie Stewarta, więcej informacji:

2) Napisz twierdzenie kosinusów dla kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), odejmij stronami, następnie wykorzystaj założenia zadania by zredukować kosinusy, a potem to już prosty wniosek.