różnica sinusa i kosinusa

[denatlu]

sprowadź do postaci iloczynowej \(\displaystyle{ \sin x-\cos x}\)

\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=\sin x -\sin \left( x+\frac{\pi}{2} \right) =\\
=2 \sin \left( \frac{x-x-\frac{\pi}{2}}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x+x+\frac{\pi}{2}}{2} \right) =\\
=2 \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( x+ \frac{\pi}{4} \right) =\\
=-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \cdot \cos \left( x+ \frac{\pi}{4} \right) =-\sqrt{2} \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}\)

poprawnie?

[lukasz1804]

Nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x}\). Zachodzi raczej wzór \(\displaystyle{ \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x}\). Mamy jednak \(\displaystyle{ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\).

[denatlu]

Przecież jak sinusa przesunę o wektor \(\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2},0]}\) to dostane kosinusa.

\(\displaystyle{ funkcja (-x)=-funkcja(x)}\) tak to było?

[norwimaj]

Zarówno wzór \(\displaystyle{ \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x}\), jak i \(\displaystyle{ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\), są poprawne. Widocznie lukasz1804 się pomylił. (I wcale mu się nie dziwię, bo sam w tych rzeczach często się mylę.)

Ostatnie przejście budzi wątpliwości:

\(\displaystyle{ -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \cdot \cos (x+ \frac{\pi}{4})=-\sqrt{2}(x+ \frac{\pi}{4})}\)

Poza tym chyba w porządku.