Równanie tryg

[bczyzowski]

Witam, mam następujące równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{6}\sin x- \sqrt{2}\tg x=0}\)
Czy jest ktoś w stanie rozwiązać je krok po kroku opisując co gdzie się robi dlaczego itd.
Byłbym bardzo wdzięczny bo nie mogę sobie z tym poradzić.

[janusz47]

Określ dziedzinę równania. ( kiedy określona jest funkcja \(\displaystyle{ \tg (x)?}\)
Podstaw \(\displaystyle{ \sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}}\)
Podziel obie strony równania przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}.}\)
Podstaw \(\displaystyle{ \tg (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}.}\)
Sprowadź równanie do postaci
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\sin (x)\cos (x) - \sin (x) = 0.}\)
Wyłącz \(\displaystyle{ \sin (x)}\) przed nawias.
Dalej dasz sobie radę.

[pawellogrd]

1. Wyznacz dziedzinę.

2.

\(\displaystyle{ \sqrt{6}\sin x- \sqrt{2}\tg x=0}\)

Korzystam z tożsamości \(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{6}\sin x- \sqrt{2} \frac{\sin x}{\cos x} =0}\)

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1) \(\displaystyle{ \sin x = 0}\)

Rozwiązanie równania dla tego przypadku pozostawiam Tobie, nie jest to trudne. Nie zapomnij sprawdzić czy rozwiązanie tego równania należy do dziedziny.

2) \(\displaystyle{ \sin x \neq 0}\)

Wtedy można podzielić całe równanie przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{\cos x} =0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{6} = \frac{\sqrt{2}}{\cos x}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ \cos x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{{3}}}\)

Teraz tylko znajdź \(\displaystyle{ x}\), które spełniają powyższą równość, sprawdź czy należą do dziedziny.

Na koniec połącz rozwiązania z obu przypadków i otrzymujesz rozwiązanie całego równania.

EDIT: Poprawka literówki.

[bczyzowski]

Dzięki wielkie za rozpisanie, wynik końcowy to:
\(\displaystyle{ x=2k \pi}\)

lub
\(\displaystyle{ x=cos ^{-1}( \frac{ \sqrt{3} }{3})+2k \pi}\)

lub
\(\displaystyle{ x=-cos ^{-1}( \frac{ \sqrt{3} }{3})+2k \pi}\)

????

[pawellogrd]

Omijasz połowę rozwiązań dla przypadku pierwszego. Zastanów się dobrze, w jakich punktach \(\displaystyle{ \sin x}\) się zeruje. To, że okresowość tej funkcji to \(\displaystyle{ 2 \pi}\) nie jest równoznaczne z tym, że tylko co \(\displaystyle{ 2 \pi}\) ma wartość zero.

Dla przypadku drugiego jest ok.

[bczyzowski]

To co \(\displaystyle{ k \pi}\) ?

[pawellogrd]

Dokładnie tak