Równanie trygonometryczne z parametrem

[goovie]

Dla jakich wartości parametru a równanie:
\(\displaystyle{ \cos x \cdot \cos (a-x) = 2 \sin ^{2} x}\)
ma rozwiązanie?

Miałem pomysł, żeby wywalić przed nawias wyrażenie złożone z samych \(\displaystyle{ \cos (a)}\) lub \(\displaystyle{ \sin (a)}\), a potem podstawić zmienną pomocniczą i z równania \(\displaystyle{ \bigtriangleup > 0}\), wyznaczyć parametr. Niestety nie umiem jakoś 'fajnie' wywalić tego cos(a) przed nawias czy cokolwiek. Macie jakieś pomysły?

[piasek101]

cosinus różnicy i (po sprawdzeniu czy można) podzielić stronami np przez cosinusa do kwadratu.

[goovie]

Faktycznie .

Jak moglem na to nie wpasc , wystarczylo podzielic przez \(\displaystyle{ \cos ^{2} x}\) i wtedy otrzymywałem:
\(\displaystyle{ 2 \tg ^{2} x - 3 \tg x \sin a - 3 \cos a = 0}\)

Za \(\displaystyle{ \tg x}\) wstawiam zmienna pomocnicza i tak jak mowilem rozwiazuje nierownosc \(\displaystyle{ \bigtriangleup > 0}\)

czyli (po uproszczeniach):

\(\displaystyle{ 9 \cos ^{2}a - 24 \cos a - 9 < 0}\)

Po rozwiazaniu tego mam: \(\displaystyle{ \cos a \in \left\langle -\frac{1}{3};\ 1 \right\rangle}\), czyli tak jak bylo w rozwiazaniu .