Wyznaczanie zbioru wartości funkcji

[Peter Zof]

Wyznacz zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) określonej wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{\log\cos2\pi x}}\)

Myślę, że trzeba rozważyć to, iż liczba logarytmowana musi być większa od zera.
\(\displaystyle{ 1^{o} \cos2\pi x > 0}\) oraz to, że liczba pod pierwiastkiem kwadratowym musi być nieujemna.
\(\displaystyle{ 2^{o} \log\cos2\pi x \ge 0}\)

Jednak nie wiem jak dalej ruszyć Proszę o odpowiedzi

[Vardamir]

Po kolei, odnośnie pierwszego: Kiedy cosiunus jest dodatni?

Odnośnie drugiego, dla jakich wartości logarytmowanych otrzymujemy wartości dodatnie, jeśli podstawa jest większa od jeden?

[Peter Zof]

Co do pierwszego nie za bardzo rozumiem, przecież wartości cosinusa są dodatnie w wielu przedziałach

@edit: Dobra już chyba zrozumiałem z tym cosinusem. Chodzi o to, że jest dodatni gdy x należy do pierwszej lub czwartej ćwiartki?

[Vardamir]

Co do pierwszego nie za bardzo rozumiem, przecież wartości cosinusa są dodatnie w wielu przedziałach

@edit: Dobra już chyba zrozumiałem z tym cosinusem. Chodzi o to, że jest dodatni gdy x należy do pierwszej lub czwartej ćwiartki?

Tak.

[Peter Zof]

No, ale przecież tutaj rozpatruję nie \(\displaystyle{ y=\cos x}\) tylko \(\displaystyle{ y=\cos2\pi x}\)

[Vardamir]

Podstaw \(\displaystyle{ t=2\pi x}\) i rozwiąż \(\displaystyle{ \cos t >0}\) .

[Peter Zof]

Spoko zaraz spróbuję, ale najpierw spytam czy można to rozwiązać w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ \log\cos2\pi x \ge 0 \Rightarrow \cos2\pi x \ge 1 \Rightarrow \cos2\pi x=1}\)

Podstawiam to i otrzymuję:

\(\displaystyle{ y= \sqrt{\log1} \Rightarrow \sqrt{0}=0}\)

?

[piasek101]

Tak. Wniosek.

[Vardamir]

Tak, można powiedzieć, że z \(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) i \(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) otrzymujemy ostatecznie nierówność \(\displaystyle{ \cos 2\pi x \ge 1}\).

Zastanów się co będzie dziedziną w takim przypadku. A zbiór wartości poprawnie.