Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}}\)
Jak to rozbić?
Równanie do czwartej potęgi
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 21 paź 2012, o 22:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 44 razy
Równanie do czwartej potęgi
Ostatnio zmieniony 9 mar 2013, o 20:34 przez MichalPWr, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie do czwartej potęgi
Doprowadza to do równania czwartego rzędu, które można łatwo ominąć, korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}\)
a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz wzoru na sinus kąta podwojonego.
\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}\)
a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz wzoru na sinus kąta podwojonego.
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 21 paź 2012, o 22:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 44 razy
Równanie do czwartej potęgi
więc metodą yorgin'a
\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2}\left( \sin2 \alpha \right)^2 = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \sin2 \alpha \right)^2 = \frac{3}{8}}\)
I ostatecznie
\(\displaystyle{ 2 \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ 2 \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{6} +k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} +2k \pi}\)
Wyszły mi cztery wyniki, w odpowiedziach są jeszcze brakujące cztery, gdzie je zgubiłem?
\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2}\left( \sin2 \alpha \right)^2 = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \sin2 \alpha \right)^2 = \frac{3}{8}}\)
I ostatecznie
\(\displaystyle{ 2 \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ 2 \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{6} +k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} +2k \pi}\)
Wyszły mi cztery wyniki, w odpowiedziach są jeszcze brakujące cztery, gdzie je zgubiłem?
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie do czwartej potęgi
Z przedostatniej linijki obliczeń dostajesz dwie serie po dwa rozwiązania. Nie ma opcji, by było więcej.
Chętnie zobaczyłbym odpowiedzi, szczególnie że po obserwacji dostaje się dwie serie rozwiązań:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2} \vee x=\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}}\)
Chętnie zobaczyłbym odpowiedzi, szczególnie że po obserwacji dostaje się dwie serie rozwiązań:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2} \vee x=\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 129
- Rejestracja: 21 paź 2012, o 22:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: polska
- Podziękował: 44 razy
Równanie do czwartej potęgi
W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} + k \pi , \frac{ \pi }{3} + k \pi , - \frac{ \pi }{6} + k \pi , - \frac{ \pi }{3} + k \pi , \frac{ \pi }{6} + k \frac{ \pi }{2} , \frac{ \pi }{3} + k \frac{ \pi }{2}}\) i z tego wychodzi osiem rozwiązań
Inną metodą robiłem też:
\(\displaystyle{ \sin^4x + \left( 1 - \sin^2x\right)^2 = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^4x - 2\sin^2x + \frac{3}{8} = 0}\)
\(\displaystyle{ sin^2x = t}\)
\(\displaystyle{ 16t^2 - 16t + 3 = 0}\)
i wyszło, że \(\displaystyle{ \sin x}\) wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \vee \sinx - \frac{1}{2} \vee \sinx \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \sinx - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} + k \pi , \frac{ \pi }{3} + k \pi , - \frac{ \pi }{6} + k \pi , - \frac{ \pi }{3} + k \pi , \frac{ \pi }{6} + k \frac{ \pi }{2} , \frac{ \pi }{3} + k \frac{ \pi }{2}}\) i z tego wychodzi osiem rozwiązań
Inną metodą robiłem też:
\(\displaystyle{ \sin^4x + \left( 1 - \sin^2x\right)^2 = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^4x - 2\sin^2x + \frac{3}{8} = 0}\)
\(\displaystyle{ sin^2x = t}\)
\(\displaystyle{ 16t^2 - 16t + 3 = 0}\)
i wyszło, że \(\displaystyle{ \sin x}\) wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \vee \sinx - \frac{1}{2} \vee \sinx \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \sinx - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Równanie do czwartej potęgi
Postaraj się przestać patrzeć na te serie rozwiązań jako na oddzielne kawałki. Narysuj sobie je. Zobacz, że tak na prawdę kilka razy narysujesz to samo, łącznie z tym, co ja sam zaproponowałem.