Równanie do czwartej potęgi

[reaperdie]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}}\)
Jak to rozbić?

[k3fe]

Podpowiedź:

\(\displaystyle{ \sin^4x=(\sin^2x)^2=(1-\cos^2x)^2=1-2\cos^2x+\cos^4x}\)

[yorgin]

Doprowadza to do równania czwartego rzędu, które można łatwo ominąć, korzystając z tego, że

\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x}\)

a następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej oraz wzoru na sinus kąta podwojonego.

[reaperdie]

więc metodą yorgin'a
\(\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2}\left( \sin2 \alpha \right)^2 = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left( \sin2 \alpha \right)^2 = \frac{3}{8}}\)
I ostatecznie
\(\displaystyle{ 2 \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) lub \(\displaystyle{ 2 \alpha = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{6} +k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{3} +2k \pi}\)

Wyszły mi cztery wyniki, w odpowiedziach są jeszcze brakujące cztery, gdzie je zgubiłem?

[yorgin]

Z przedostatniej linijki obliczeń dostajesz dwie serie po dwa rozwiązania. Nie ma opcji, by było więcej.

Chętnie zobaczyłbym odpowiedzi, szczególnie że po obserwacji dostaje się dwie serie rozwiązań:

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2} \vee x=\frac{-\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}}\)

[reaperdie]

W odpowiedziach jest:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6} + k \pi , \frac{ \pi }{3} + k \pi , - \frac{ \pi }{6} + k \pi , - \frac{ \pi }{3} + k \pi , \frac{ \pi }{6} + k \frac{ \pi }{2} , \frac{ \pi }{3} + k \frac{ \pi }{2}}\) i z tego wychodzi osiem rozwiązań

Inną metodą robiłem też:
\(\displaystyle{ \sin^4x + \left( 1 - \sin^2x\right)^2 = \frac{5}{8}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin^4x - 2\sin^2x + \frac{3}{8} = 0}\)
\(\displaystyle{ sin^2x = t}\)
\(\displaystyle{ 16t^2 - 16t + 3 = 0}\)

i wyszło, że \(\displaystyle{ \sin x}\) wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \vee \sinx - \frac{1}{2} \vee \sinx \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee \sinx - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[yorgin]

Postaraj się przestać patrzeć na te serie rozwiązań jako na oddzielne kawałki. Narysuj sobie je. Zobacz, że tak na prawdę kilka razy narysujesz to samo, łącznie z tym, co ja sam zaproponowałem.