równanie, czy dobrze rozwiązuję.

[yorgin]

Nie rozumiem, skąd masz takie wyniki.

Skoro \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}>\frac{1}{2}}\), to patrząc na jeden okres sinusa wychodzi, że

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)}\)

oraz podobnie po wartościach ujemnych. Rozciągamy przedział dwukrotnie i wychodzą ostatecznie dwa przedziały, tzn mnożymy końce przedziałów przez 2.

[matinf]

No ok, ale przecież jeszcze drugi przypadek jest
(być może zapomniałem pomnożyć razy dwa)

[yorgin]

Napisałem, że dla ujemnych podobnie...

\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}<-\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}\in \left(-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{6}\right)}\)

[matinf]

Nie rozumiem, skąd masz takie wyniki.

Skoro \(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}>\frac{1}{2}}\), to patrząc na jeden okres sinusa wychodzi, że

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)}\)

oraz podobnie po wartościach ujemnych. Rozciągamy przedział dwukrotnie i wychodzą ostatecznie dwa przedziały, tzn mnożymy końce przedziałów przez 2.

Ok. Ale dlaczego mówisz patrząc na jeden okres - przecież do rozpatrzenia mamy dwa okresy.
Stąd mam więcej wyników.

[yorgin]

No dobra, to przyjrzyjmy się rozwiązaniom nierówności

\(\displaystyle{ \left|\sin\frac{x}{x}\right|>\frac{1}{2}}\)

na przedziale \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\)

Standardowe rachunki dają nam wynik

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}\in \left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)\cup \left(\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right)}\)

Dopisz, do czego należy \(\displaystyle{ x}\).

Biorę jeden okres, dlatego że połówka argumentu rozciąga mi ten jeden okres na przedział \(\displaystyle{ (-2\pi,2\pi)}\).

[matinf]

Czyli nie mogłem sobie tak patrzyć na wykres \(\displaystyle{ sinx}\), a potem wyciągać takie wnioski dla \(\displaystyle{ \sinx\frac{x}{2}}\)
A to dlatego, że okres ulega zmianie. W takim razie masz racje - należało narysować wykres dla połówki argumentu, a nie dla x. A co proponujesz, aby sobie radzić z tym przy równaniach też nastąpi ten problem, prawda?




P.S dzięki za pomoc

[yorgin]

Przy równaniach jest prościej, dla przykładu taki banał:

\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}}\)

wiadomo, że wtedy

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \vee \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

czyli patrzysz na to jak na zwykłą funkcję sinus, ale przyrównujesz rozwiązania do \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\). Potem wystarczy pomnożyć przez \(\displaystyle{ 2}\).

[matinf]

ale słuchaj, rozwiązań powinno być mnie takiego równania jak pokazałeś.

[yorgin]

Nie rozumiem tego, co napisałeś.

[matinf]

tzn. Jeśli rozpatrujemy przedzia\(\displaystyle{ ł [-2\pi; 2\pi]}\)
Pokaż mi jak rozwiązać tutaj w tym przedziale równanie, które zaproponowałeś.

[yorgin]

To postępuję tak samo, jak tłumaczyłem przy nierównościach - wybieram rozwiązania należące do przedziału \(\displaystyle{ [-\pi,\pi]}\), czyli

\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6} \vee \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}}\)

skąd wyliczam \(\displaystyle{ x}\).

Albo: liczę, że

\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}+4k\pi \vee x=\frac{5\pi}{3}+4k\pi}\)

i z tego wybieram rozwiązania należące do interesującego mnie przedziału.