równanie, czy dobrze rozwiązuję.

[matinf]

Czy dobrze rozwiązuję to równanie?
\(\displaystyle{ 4\sin ^2x - \sin ^22x = 1}\)
\(\displaystyle{ 4\sin ^2x -4\sin ^2x\cos ^2x = 1}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2x(1-\cos ^2x) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2x = \frac{1}{2}}\)
?

[piasek101]

Cosinusa zamień na sinusa i podstaw coś zamiast sinusa do kwadratu.

[matinf]

ale czy ja źle coś robię ?

[piasek101]

Tak. Skąd wiesz, że sinus (do kwadratu) jest równy 0,5 ? Tylko zgadujesz.

[matinf]

Nie rozumiem.
\(\displaystyle{ 1 - \cos ^2x = \sin ^2x}\)Musisz się z tym zgodzić

czyli:
\(\displaystyle{ \sin ^4x =\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2x= \frac{1}{2} \vee \sin ^2x= -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \vee \sin x =-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ \sin ^2x(1-\cos ^2x) = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin ^2x = \frac{1}{2}}\)
?

Tu zrobiłeś przeskok - i myślałem, że piszesz o tym sinusie z początku pierwszej linijki.

Tak jak robisz (teraz pokazując) jest ok.

[matinf]

czyli
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{3\pi}{4} +2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x = \pi + \frac{\pi}{4}+ 2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x = 2\pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi}\)
cztery takie rozwiązania.
Jest ok?

[Kacper20]

Prawidłowo.

[matinf]

Wystarczy, że zawsze będę rozpatrywał jeden pełny okres, w nim szukał rozwiązań nierówności(równania) i potem dodam okres?

[Kacper20]

Tak, bo zapisujesz wszystkie rozwiązania w zbiorze rzeczywistym. Musisz pamiętać tylko, że np. \(\displaystyle{ \sin x=0}\) ma inną okresowość.
Robisz tak, chyba ze w zadaniu podane masz, aby rozpatrywać tylko w jakimś przedziale. Wtedy wypisujesz tylko rozwiązania należące do tego przedziału

[matinf]

ok, dzięki wielkie
A taka nierówność
\(\displaystyle{ |\sin\frac{x}{2}| > \frac{1}{2}}\)

[Kacper20]

Z czym jest konkretnie problem? Opuszczasz wartość bezwzględną, rozważasz dwa przypadki, później bierzesz sumę przedziałów.

[matinf]

w rozwiązaniach są dwa przedziały, mi wychodzą cztery.
zapomniałem dodać, że\(\displaystyle{ -2\pi<x<2\pi}\)

[yorgin]

ok, dzięki wielkie
A taka nierówność
\(\displaystyle{ |\sin\frac{x}{2}| > \frac{1}{2}}\)

Stąd masz dwa przypadki

\(\displaystyle{ \sin\frac{x}{2}>\frac{1}{2} \vee \sin\frac{x}{2}<-\frac{1}{2}}\)

A ich rozwiązanie nie powinno stanowić problemu. Nie powołuj się na odpowiedzi z książki, tylko podaj swoje, co parę osób będzie w stanie zweryfikować.

[matinf]

To są dwie pary przedziałów:
\(\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{\pi}{6}-2\pi; \frac{5\pi}{6}-2\pi \right) \\
\cup \\
\left( \pi+\frac{\pi}{3}; 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) \cup \left( \pi+\frac{\pi}{3}-2\pi; 2\pi - \frac{\pi}{3}-2\pi \right)}\)