Tożsamość trygonometryczna

[piotr1122]

Witam

W odpowiedzi do zadania pojawiła mi się następująca równość ( \(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt ostry):

\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1}{4\cos ^{2} \alpha}-1} = \frac{ \sqrt{\sin \left( \frac{ \pi }{3}+ \alpha \right) \sin \left( \alpha - \frac{ \pi }{3} \right) }}{\cos \alpha }}\) , \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{ \pi }{3} , \frac{ \pi }{2} \right)}\)

Jak 'lewą stronę przekształcić w prawą'?

Pozdrawiam

[piasek101]

Na początek stronami do kwadratu.

[piotr1122]

raczej nie bardzo, bo na początku mam tylko lewą stronę i muszę dojść do prawej 'nie widząc jej'

[piasek101]

Są różne drogi udowadniania tożsamości - zaproponowałem jedną z nich.

[lukasz1804]

Te przejścia są naprawdę elementarne: potrzebujesz wzoru na różnicę kwadratów, jedynki trygonometrycznej oraz wzorów na sinus sumy i różnicy kątów.

W razie problemów spójrz:

Rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{4\cos^2\alpha}-1}=\frac{\sqrt{1-4\cos^2\alpha}}{2\cos\alpha}=\frac{\sqrt{\sin^2\alpha-3\cos^2\alpha}}{2\cos\alpha}=\frac{\sqrt{\frac{1}{4}\sin^2\alpha-\frac{3}{4}\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)\left(\frac{1}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\right)}}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha+\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha\right)\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha-\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha\right)}}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)}}{\cos\alpha}}\)