największa wartość funkcji trygonometrycznej.

[matinf]

Wyznacz największą wartość liczbową wyrażenia \(\displaystyle{ \sin\alpha \cdot \sin\beta}\) gdy alfa i beta są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego.

[Qń]

Wskazówka: z tw. Pitagorasa wynika, że suma kwadratów tych sinusów jest równa jeden, wystarczy więc skorzystać z oczywistej nierówności \(\displaystyle{ xy \le \frac{x^2+y^2}{2}}\) i zastanowić się czy może w niej zajść równość.

Q.

[matinf]

Wybacz, ale nie rozumiem co masz na myśli:-)

[Qń]

Proponuję więc, żebyś powiedział co konkretnie jest niejasne.

Q.

[matinf]

Czyli, że jeden ?
No bo jak ja rozwiązuję (nie widzę u mnie błędu - otrzymuję nawiasy okrągłe na przedziale - i co to zrobić) ?
\(\displaystyle{ \sin \alpha\cdot \sin \beta=\frac{1}{2}\sin 2\alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha\in(0,90)}\)
\(\displaystyle{ 2\alpha \in(0,180)}\)
\(\displaystyle{ 0< \sin 2\alpha < 1}\)
\(\displaystyle{ 0 < \frac{1}{2} \sin 2\alpha < \frac{1}{2}}\)
Co mam tutaj zrobić ?

[piasek101]

Ten sinus może być = 1. I wyznaczasz największą wartość.

[matinf]

Ale gdzie u mnie jest błąd?

[piasek101]

Przyjąłeś, że jest tylko mniejszy, a odpuściłeś = 1.

[matinf]

Skoro alfa jest ostre, to ma \(\displaystyle{ (0,90)}\). Dwukrotność tego kąta to: \(\displaystyle{ (0,180)}\).
W owym przedziale sinus nie przyjmie nigdy jedynki.
O co chodzi ?

[Qń]

Twój pomysł też jest dobry (i nawet chyba szybszy niż mój) - pokazałeś, że żądany iloczyn może przyjmować dowolne wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac 12\right]}\), więc oczywiście największa możliwa wartość to \(\displaystyle{ \frac 12}\) (dla kąta \(\displaystyle{ \alpha = 45^o}\)).

A mój pomysł opierał się na tym, że jeśli przyjmiemy standardowe oznaczenia w trójkącie, to \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac ac}\) i \(\displaystyle{ \sin \beta = \frac bc}\), z twierdzenia Pitagorasa mamy więc:
\(\displaystyle{ \sin^2\alpha + \sin^2\beta = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \sin \beta \le \frac{\sin^2\alpha + \sin^2\beta }{2} = \frac 12}\)
więc żądany iloczyn nie może przyjmować wartości większych niż \(\displaystyle{ \frac 12}\) oraz łatwo zauważyć, że wartość \(\displaystyle{ \frac 12}\) przyjmuje dla \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 45^o}\).

Q.

[matinf]

Qń, ale problem jest inny- Ja pokazałem że to ma być mniejsze niż\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
a powinienem że mniejsze bądź równe, jak z tego teraz wybrnąć?

[Qń]

\(\displaystyle{ (0,180)}\). W owym przedziale sinus nie przyjmie nigdy jedynki.

A ile jest równe \(\displaystyle{ \sin 90^o}\)?

Q.

[matinf]

Ale mnie zaskoczyłeś
na usprawiedliwienie powiem, że poparzyłem na wykres cosa, zamiast sina, stąd nieporozumienie.
Dziękuję