Rozwiąż równanie

[Jadranko]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin ^{2}2x - \cos ^{2}x = 0}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;2 \pi )}\)

[wujomaro]

Cosinus na prawą stronę, potem spierwiastkuj i dalej już chyba łatwo. Jak będą problemy to pisz.
Pozdrawiam!

[Jadranko]

Zrobiłem tak jak mówiłeś, po uproszczeniu wychodzi: \(\displaystyle{ sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\). W podanym w zadaniu przedziale będą tylko dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x \in { \frac{ \pi }{4}; \frac{3 \pi }{4} }}\), podczas gdy odpowiedź do tego zadania to: \(\displaystyle{ x \in { \frac{ \pi }{4}; \frac{ \pi }{2}; \frac{3 \pi }{4}; \frac{5 \pi }{4}; \frac{3 \pi }{2}; \frac{7 \pi }{4}}}\)

[pyzol]

Pierwiastkowanie, nie jest fajne, bo możemy stracić trochę możliwości.
Lepiej skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2 x-\cos x \right) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2 x+\cos x \right)=0}\)
Z czego otrzymujemy dwa równania:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2 x-\cos x=0 \vee \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2 x+\cos x=0}\)
Dalej korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymasz:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0 \vee \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0}\)
Po wyciągnięciu cosinusa przed nawias ostatecznie otrzymamy 3 równania:
\(\displaystyle{ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \vee \cos x=0}\)