rownania i nierownosci

[dabros]

mam problem z nastepujacymi zadaniami:

1)udowodnij:
\(\displaystyle{ (n N x R) \sin^{2n} x + \cos^{2n} x qslant \frac{1}{2^{n-1}}}\)

2)rozwiazac:

a)\(\displaystyle{ [\tan x] = 2\cos^{2} x}\)

b)\(\displaystyle{ \sin (\frac{\pi}{6} + [\frac{\pi}{6x}]) = \frac{1}{2}}\)

c)\(\displaystyle{ (\tan^{2} x_{1} + \tan^{2} x_{2} + ... + \tan^{2} x_{1001}) + (\cot^{2} x_{1} +
\cot^{2} x_{2} + ... + \cot^{2} x_{1001}) qslant 2002}\)

d)\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin 2002x = 2002}\)

bede wdzieczny za pelne rozwiazania powyzszych zadan
pozdrawiam

[Lorek]

2 a) c) d) zastanów sie jakie wartosci mogą przyjmować funkcje występujące w równaniach
b) coś tu chyba jest nie tak...

[dabros]

masz racje, 2b juz poprawilem;
czy moglbys podac mi schemat rozwiazan bo mam to zrobic na jutra, a przede mna jeszcze duzo podobnych zadan...
bede wdzieczny

ps: czy w 2c nie powinno byc znaku nierownosci w przeciwna strone?
(wtedy bede umial to rozwiazac)

[Lorek]

\(\displaystyle{ [\tan x]\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2\cos^2 x\in\mathbb{Z}\Rightarrow 2\cos^2 x\in\{0;1;2\}}\)
Stąd wyliczysz możliwe wartosci i później trzeba sprawdzić czy obie strony są sobie równe dla tych wartosci.
c) Zawsze prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \tan^2 x_a+\cot^2 x_a\geq 2}\)
a równość zachodzi gdy obie liczby są sobie równe (i równe 1)
d) również zawsze prawdziwa nierówność
\(\displaystyle{ \sin nx\leq 1\\\sin x+\sin 2x+...+\sin 2002x\leq 2002}\)

[dabros]

dziekuje serdecznie(moim wyrazem wdziecznosci niech bedzie przyznany punkt pomocy)
a co z zadaniem pierwszym?
czy trzeba wykorzystac indukcje matematyczna?
pozdrawiam i prosze o wskazowke do zad 1

[Lorek]

Może po czasie ale mam rozwiązanie do 1 (jakby ktos był ciekaw). Korzystając z nierówności między średnimi potęgowymi mamy
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}{2}}\geq\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{2}=\frac{1}{2}}\)
podnosimy nierówność do n-tej potęgi
\(\displaystyle{ \frac{\sin^{2n}x+\cos^{2n}x}{2}\geq \frac{1}{2^n}\\\sin^{2n}x+\cos^{2n}x\geq\frac{2}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}}\)