"Tangens tego kąta, z którego widzimy pod największ

[igor123]

Dwie proste prostopadłe przecinają się w punkcie A. Na jednej z nich wybrano leżące po tej samej stronie punktu A punkty B i C (w tej kolejności od A) tak, że długość odcinka AB jest równa a oraz długość odcinka BC jest równa b. Wiadomo, że b

[martaa]

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ \angle ADB =\beta \ \angle BDC=\alpha \ AD=c}\)
Szukamy tangensa największego możliwego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), czyli maksimum funkcji \(\displaystyle{ tg\alpha}\) (bo \(\displaystyle{ \alpha < \frac{\pi }{2}}\), czyli kąt maksymalny jest dla maksymalnej wartości tangensa).
Mamy:
\(\displaystyle{ tg\beta =\frac{a}{c} \\ tg(\alpha +\beta )=\frac{a+b}{c}}\)
Korzystając ze wzoru na tangens różnicy otrzymujemy:
\(\displaystyle{ tg\alpha =tg((\alpha +\beta )-\beta ) \\ = \frac{\frac{a+b}{c}-\frac{a}{c}}{1+\frac{a(a+b)}{c^2}} \\ =\frac{b}{c}\cdot \frac{c^2}{c^2+a^2+ab} \\ =\frac{bc}{a^2+c^2+ab}=f(c)}\)
Szukamy maksimum tej funkcji, więc sprawdzamy, dla jakiego c pochodna jest równa 0:
\(\displaystyle{ 0=f'(c)=\frac{b(a^2+c^2+ab)-bc\cdot 2c}{(a^2+c^2+ab)^2}}\)
Oczywiście równanie spełnione jest dla
\(\displaystyle{ c^2=a^2+ab}\)
Widzimy, że dla mniejszych \(\displaystyle{ c^2}\) pochodna jest dodatnia, a dla większych - ujemna, zatem dla \(\displaystyle{ c=\sqrt{a^2+ab}}\) funkcja osiąga maksimum.
Podstawiamy to c do wzoru na \(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{bc}{a^2+c^2+ab}}\) i otrzymujemy szukany tangens.