Równanie trygonometryczne

[Peter Zof]

Witam!

Mam do rozwiązania pewno równanie i niestety nie wiem jak się za to zabrać

\(\displaystyle{ 1+\tg^{2}\left( \frac{\pi-x}{2} \right)=\left[ 1+\tg\left( \frac{\pi-x}{2} \right)\right]^{2}}\)

[loitzl9006]

Na początek zmienna pomocnicza \(\displaystyle{ \tg\left( \frac{\pi-x}{2} \right) =t}\)

\(\displaystyle{ 1+t^2=(1+t)^2 \\ 1+t^2=1+2t+t^2 \\ 0=2t \\ t=0 \\ \tg\left( \frac{\pi-x}{2} \right) =0}\)

Tangens jest równy zero gdy jego argument jest równy \(\displaystyle{ k\pi}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego, zatem

\(\displaystyle{ \frac{\pi-x}{2}=k\pi \\ \\ ...}\)

Wyznaczasz \(\displaystyle{ x}\)

[Peter Zof]

Faktycznie Przy okazji spytam o pewne zagadnienie. Przeglądając rozwiązania niektórych równań zauważyłem, że okres np. \(\displaystyle{ k\pi}\) dodawany jest dopiero gdy iksy są już po jednej stronie równania. Na przykład w takim przykładzie:

\(\displaystyle{ \tg 2x=\tg\left( 3x- \frac{\pi}{6} \right)}\)
Wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ 2x=3x- \frac{\pi}{6}}\)
i czy już w tym momencie powinienem dodać okres? Czy gdy wszystko jest już uporządkowane?

[yorgin]

Tak, powinieneś dodać okres już na etapie usuwania tangensów, tzn

\(\displaystyle{ 2x=3x-\frac{\pi}{6}+k\pi}\)

[Peter Zof]

Jednak wtedy wychodzi, że \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6} -k\pi}\) a w odpowiedziach jest
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{6} +k\pi}\)

[yorgin]

To są te same wyniki, gdyż \(\displaystyle{ k\in \ZZ}\). Nie ma znaczenia, czy dodajesz, czy odejmujesz. Składnik \(\displaystyle{ +\pi}\) w pierwszym przypadku dostaniesz dla \(\displaystyle{ k=-1}\), a w drugim dla \(\displaystyle{ k=1}\).