Przedstaw w postaci iloczynu

[dorota12]

Witam, mam przedstawić w postaci iloczynu kilka przykładów i nie za bardzo wiem, jak to zrobić.
a) \(\displaystyle{ \cos 7x + \cos 3x}\)
Tutaj np. nie wiem, czy mogę wyciągnąc cosx przed nawias i potem zrobić to z wzoru na sumę:
\(\displaystyle{ \cos x(7x+3x)= \cos 7x\cos 3x -\sin 7x\sin 3x}\)
Mozna coś z tym dalej zrobić? Czy to w ogóle jest iloczyn? A może powinnam zrobić to tak:
\(\displaystyle{ 2\cos \frac{7x+3x}{2} \cdot \cos \frac{7x-3x}{2} = 2\cos 5x \cdot \cos 2x}\)

b) \(\displaystyle{ 1+\cos x}\)
Tutaj na myśl przychodzi mi tylko uzycie jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \sin ^{2} x + \cos ^{2} x + \cos x}\), ale co dalej, to już nie wiem.

Z góry dziękuję za pomoc

[chris_f]

Tu akurat powinnaś skorzystać ze wzorów trygonometrycznych, dokładniej będą Ci potrzebne wzory
\(\displaystyle{ \sin x \pm \sin y = 2 \sin \frac {x \pm y}{ 2} \cdot \cos \frac {x \mp y } {2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac {x + y}{ 2} \cdot \cos \frac {x - y }{ 2}}\)
\(\displaystyle{ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac {x + y} {2} \cdot \sin \frac {x - y }{ 2}}\)

I na przykład
\(\displaystyle{ \cos7x+\cos3x=2\cos\frac{7x+3x}{2}\cdot\cos\frac{7x-3x}{2}
=2\cos5x\cos2x}\)

Co do b) przyjmij, że \(\displaystyle{ 1=\cos0}\) i zastosuj ten sam wzór.

[dorota12]

Dziękuję za odpowiedź.
Przyjęłam, że \(\displaystyle{ 1 = cos0}\) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ 1+cosx=cos0+ cosx=2cos \frac{0+x}{2} \cdot cos \frac{0-x}{2}= 2 cos \frac{x}{2} \cdot cos( \frac{-x}{2}}\) Czy mogę wyciągnąć ten minus przed całe wyrażenie, żeby było \(\displaystyle{ -2 cos \frac{x}{2} \cdot cos( \frac{x}{2}}\)

[chris_f]

Ten minus znika!
Tu właśnie wykorzystujemy fakt, że cosinus jest funkcją parzystą, czyli \(\displaystyle{ \cos(-\alpha)=\cos\alpha}\).