Rozwiązać nierówność trygonometryczną.

[Pietrzak93]

Rozwiązać nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} } }{\cos x} \le 0}\)

\(\displaystyle{ \cos x \neq 0}\) Nie wiem jak dalej wyznaczyć Df.

Zbytnio nie wiem od czego się tutaj zabrać. Pomnożyć przez \(\displaystyle{ \cos ^2}\) całość?

\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \cdot \cos x \le 0}\)

\(\displaystyle{ \sin x \cos x - \frac{1}{ \sqrt{2} }\cos x \le 0}\)

No i nie wiem co z tym dalej..

[yorgin]

\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \cdot \cos x \le 0}\)

Kiedy iloczyn dwóch liczb jest ujemny?

[Pietrzak93]

\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \cdot \cos x \le 0}\)

Kiedy iloczyn dwóch liczb jest ujemny?

Gdy jedna z liczb jest ujemna.
Czyli mam to rozbić na tak jakby dwa przypadki?

\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \le 0 \wedge \cos x \le 0}\)

[yorgin]

Czyli mam to rozbić na tak jakby dwa przypadki?

\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \le 0 \wedge \cos x \le 0}\)

Masz rozbić na dwa przypadki, ale to co napisałeś wyżej jest bez sensu. Przy takim warunku iloczyn jest dodatni.

Musi być dokładnie jedna z liczb ujemna.

[Pietrzak93]

\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \le 0 \vee \cos x \ge 0 \wedge}\)
\(\displaystyle{ (\sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} }) \ge 0 \wedge \cos x \le 0}\)

W ten sposób?

[yorgin]

Widzę, że symbole się mylą. Warunki są takie:

\(\displaystyle{ (\sin x -\frac{1}{\sqrt{2}}\leq 0 \wedge \cos x\geq 0)\vee(\sin x -\frac{1}{\sqrt{2}}\geq 0 \wedge \cos x\leq 0)}\)

[Pietrzak93]

A czy w równaniach trygonometrycznych trzeba wyznaczać dziedzinę?
I czy rozwiązaniem tej nierówności:

\(\displaystyle{ \sin x - \frac{1}{ \sqrt{2} } \le 0}\)

jest przedział:

\(\displaystyle{ x \in \left( - \frac{3\pi}{4}+2k\pi , \frac{\pi}{4} +2k\pi \right)}\)