wymierność liczby

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

wymierność liczby

Post autor: theoldwest »

Pokazać algebraicznie, że liczba \(\displaystyle{ \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)-\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)}\) jest wymierna. (zakres liceum)
rafalpw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2203
Rejestracja: 15 lis 2012, o 00:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 526 razy

wymierność liczby

Post autor: rafalpw »

Próbowałeś po prostu policzyć ile ona wynosi?(stosując tożsamości trygonometryczne)
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

wymierność liczby

Post autor: theoldwest »

Właśnie nie wiem jak to policzyć - możesz mi podpowiedzieć co i jak?
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

wymierność liczby

Post autor: cosinus90 »

Spróbuj zastosować wzory na sumę i różnicę odpowiednich funkcji trygonometrycznych (wygoogluj jeśli nie znasz).
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

wymierność liczby

Post autor: theoldwest »

\(\displaystyle{ \cos \left(\frac{\pi}{7}\right)-\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)+\cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)=2\sin \frac{3 \pi}{14} \sin \frac{\pi}{14}+\cos \left(\frac{3\pi}{7}\right)}\)

Zastosowałem wzór na różnicę dwóch pierwszych cosinusów jednak nadal nie wiem co z tym dalej zrobić.

Mam to ... ometryczne, Suma i różnica funkcji
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wymierność liczby

Post autor: norwimaj »

Pachnie , ale nie wiem, czy jeszcze jest on omawiany w liceum. Jak nie, to może wystarczy jakieś wektory narysować?
theoldwest
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 251
Rejestracja: 2 gru 2012, o 20:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Great Plains
Podziękował: 86 razy

wymierność liczby

Post autor: theoldwest »

Za pomocą postaci wykładniczej liczb zespolonych mniej więcej wiem jak to zrobi, kolega timon92 proponował dowód geometryczny z trójkątem https://www.matematyka.pl/320538.htm, zastanawiam się czy da się to pokazać algebraicznie z tożsamości trygonometrycznych ze strony (możliwe, że się nie da),
w standardowym liceum raczej nie ma de Moivre'a.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

wymierność liczby

Post autor: norwimaj »

Niech \(\displaystyle{ c=\cos\frac{\pi}7+\cos\frac{3\pi}7+\ldots+\cos\frac{13\pi}7}\) oraz \(\displaystyle{ s=\sin\frac{\pi}7+\sin\frac{3\pi}7+\ldots+\sin\frac{13\pi}7}\). Wtedy

Dostajemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
c=c\cos\frac{2\pi}7-s\sin\frac{2\pi}7\\
s=s\cos\frac{2\pi}7+c\sin\frac{2\pi}7
\end{cases}}\)
ODPOWIEDZ