Zadania do sprawdzenia. Równanie i nierówność

[rybka098]

\(\displaystyle{ /\cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - 1 - \sqrt{3} \left( 2\sin ^{2}x - 1 \right) =1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - 1 - 2 \sqrt{3} \sin ^{2}x + \sqrt{3} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x -2 \sqrt{3} \left( \cos ^{2} - 1 \right) = 2 - \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - 2 \sqrt{3}\cos ^{2} + 2 \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}\cos ^{2}x -2 \sqrt{3}\cos ^{2}x = 2 - \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}\)

Dobrze to jest bo dalej to wychodzą bardzo dziwne rzeczy Jak by mógł ktoś sprawdzić i wskazać ewentualne błędy. Bardzo mi zależy aby było dobrze rozwiązane.

\(\displaystyle{ 2\sin x + 1 < 0}\)
\(\displaystyle{ \sin x< - \frac{1}{2}}\)

dobrze jest ta nierówność? Później aby odczytać rozwiązania narysowałam wykres...

[Vardamir]

W pierwszym powinno być:
\(\displaystyle{ \sin 2x = 2\sin x \cos x}\)

Nierówność dobrze do tego momentu.

[rafalpw]

Możesz zrobić to o wiele szybciej:
\(\displaystyle{ \cos 2x - \sqrt{3}\sin 2x = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{6}\cos 2x-\cos \frac{\pi}{6}\sin 2x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{6}-2x \right)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}-2x= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee \frac{\pi}{6}-2x= \frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi \vee x=- \frac{\pi}{3}+k\pi}\)

[rybka098]

aaa okej już widzę racja zaraz poprawię teraz powinno wyjść dobrze

a co mam dalej zrobić z tą nierównością ?


Nie za bardzo to rozumiem:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}-2x= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee \frac{\pi}{6}-2x= \frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

[rafalpw]

Nie za bardzo to rozumiem:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}-2x= \frac{\pi}{6}+2k\pi \vee \frac{\pi}{6}-2x= \frac{5\pi}{6}+2k\pi}\)

To jest rozwiązanie równania trygonometrycznego: \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\pi}{6}-2x \right)= \frac{1}{2}}\)

[rybka098]

Zrobiłam tak dobrze ? I co dalej

\(\displaystyle{ \cos2x - \sqrt{3}sin2x = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - 1 - \sqrt{3}(2sinxcosx) = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - 1- 2 \sqrt{3}sinxcosx = 1}\)
\(\displaystyle{ 2\cos ^{2}x - 2 \sqrt{3}sinxcosx = 2}\)
\(\displaystyle{ 2cosx ( cosx - \sqrt{3}sinx ) = 2}\)
\(\displaystyle{ cosx ( cosx - \sqrt{3}sinx ) = 0}\)-- 24 lut 2013, o 10:53 --Skąd się wzięło \(\displaystyle{ 2k \pi}\) ?