Rownanie trygonometryczne

[paskur]

\(\displaystyle{ \sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = \sqrt{2} - \cos 3x}\)

podstawiam do 1 trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} - \cos 3x \right) ^{2} + \left( \cos 3x \right) ^{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2-2 \sqrt{2} \cos 3x + \left( \cos 3x \right) ^{2} + \left( \cos 3x \right) ^{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2 \cos 3x ^{2} - 2 \sqrt{2} \cos 3x + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ t=\cos 3x}\)
\(\displaystyle{ 2t ^{2} -2 \sqrt{2} + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ t \in \left\langle -1;1 \right\rangle}\)
\(\displaystyle{ t= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos 3x = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 3x= \frac{ \pi }{4} +2k \pi \vee 3x=- \frac{ \pi }{4} +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{12} + \frac{2}{3} k \pi \vee x=- \frac{ \pi }{12} + \frac{2}{3} k \pi}\)

Wskaże ktoś błąd w moim rozwiązaniu, ponieważ w odpowiedziach wynik jest:
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{12} + \frac{2}{3} k \pi}\)

[rafalpw]

Błąd polega na tym, że podajesz odpowiedź biorąc pod uwagę tylko ten warunek:

\(\displaystyle{ cos3x = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

A przecież masz jeszcze:

\(\displaystyle{ \sin 3x+\cos 3x= \sqrt{2}}\)

Więc tak naprawdę musisz podać odpowiedź dla układu równań:
\(\displaystyle{ \sin 3x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \wedge \cos 3x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

[paskur]

Geniusz

a czy mogę zrobić tak na skróty:

\(\displaystyle{ \sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2} | ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 1 + 2\sin 3x\cos 3x=2}\)

\(\displaystyle{ 2\sin 3x\cos 3x=1}\)

\(\displaystyle{ \sin 6x=1}\)

\(\displaystyle{ 6x= \frac{\pi}{2} +2k \pi}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{12} + \frac{2}{3} k \pi}\)

[rafalpw]

\(\displaystyle{ 6x= \frac{\pi}{2} +2k \pi}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{12} + \frac{2}{3} k \pi}\)

W tym ostatnim przejściu masz błąd. Powinno być: \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{12} + \frac{1}{3} k \pi}\) , więc jak sam widzisz: nie możesz tak zrobić, bo wychodzi inna odpowiedź.-- 24 lut 2013, o 10:22 --Dzieje się tak dlatego, że jak podnosisz obustronnie do kwadratu to wyjdą również rozwiązania równania: \(\displaystyle{ \sin 3x+\cos 3x=- \sqrt{2}}\)

[Na_ten_czas]

Można też podzielićstronami przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i skorzystać ze wzoru na funkcje różnicy kątów. Mniej pisania.