Zapomniany wzór

[samurajnowy]

Tak jak w temacie nie mogę namierzyć wzoru tzn gdzieś mi się zapodział,
może ktoś mi go przypomni:

ja tylko podam szkic:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\tg(...)=...}\)

i drugi:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\ctg(...)=...}\)

[jarek4700]

Czy w nawiasie powinno być \(\displaystyle{ \alpha + \frac {i \pi}{n}}\) ?

[samurajnowy]

Możliwe


nawet pewne

Gdzieś mi ten wzór umknął a miałem go cały czas

Na wikipedii nie widzę go

[jarek4700]

Jakiś czas temu próbowałem się męczyć z tym problemem i doszedłem do szeregu z cotangensem.

Zakładając że tamten wzór jest prawdziwy to wystarczy to najpierw zlogarytmować stronami (logarytm naturalny) a potem stronami zróżniczkować.

\(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{n} \ln \sin(\alpha + \frac{i \pi}{n}) = \ln ( - \frac{\sin n \alpha}{2^{n-1}})}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{n} ctg(\alpha + \frac{i \pi}{n}) = ...}\) oblicz sobie pochodną.

Tam niby występuje logarytmowanie liczb ujemnych ale w ogólności to się da robić tylko że wynik by był zespolony. Tak więc jak policzysz tą pochodną to pewnie uzyskany wzór będzie ok.

Z tangensem to nie wiem, można by było wyjść z podobnego problemu na iloczyn cosinusów ale i tak nie wiem co powinno wtedy być po prawej stronie.