Równanie trygonometryczne

[algorytmus]

Jak rozwiązać to równanie:

\(\displaystyle{ v=\frac{\sin \left( \frac{i}{2} \right) }{i}}\)

v jest dane, należy rozwiązać ile bedzie równe i. Interesują mnie obliczeniowo najtańsze rozwiązania lub wogóle jakieś nie jestem wybredny. Potrzebna jest taka funkcja: \(\displaystyle{ i=f(v)}\)

Dzięki.

[jarek4700]

Chyba chodziło Ci o \(\displaystyle{ i = f(v)}\). Taka funkcja odwrotna i tak jednak nie istnieje chyba że ograniczysz przedział w którym może zawierać się \(\displaystyle{ i}\).

Na czym Ty to chcesz liczyć? Rozumiem że numerycznie na komputerze, tak?

[algorytmus]

No może być ograniczone. Najbardziej mnie interesuję dla małych kątów.
\(\displaystyle{ v \in <-\frac{1}{ \pi },\frac{1}{ \pi }>}\)

\(\displaystyle{ i \in < -\pi ,\pi >}\)

Mogą być różne funkcje dla różnych przedziałów. Chodzi mi o to, żeby była ich skończona liczba dla tych ograniczeń. Chętnie chciałbym to zobaczyć w radianach.
Będę takie rozwiązania następnie kodował na potrzeby obliczeń numerycznych na komputerze.

[jarek4700]

Chcesz koniecznie przybliżony wzór, czy metody iteracyjne (algorytm w pętli) też może być?

[algorytmus]

Bałem się właśnie przybliżania. Wolałbym jakiś rozpis przed kodowaniem, żeby to zrozumieć matematycznie, a z implementacją to nie będę miał problemu. Dzięki.

[jarek4700]

Ja bym to robił metodą siecznych gdyż funkcja dość przypomina prostą, rób tak:
Rozwiązujesz iteracyjnie równanie \(\displaystyle{ \frac{\sin \left( \frac{i}{2} \right) }{i} - v = 0}\)

Zauważ że ono będzie mieć dwa rozwiązania różniące się tylko znakami \(\displaystyle{ \pm i}\)
Zatem wystarczy rozwiązywać w przedziale \(\displaystyle{ i \in \left( 0,\pi \right)}\)

Teraz równanie będzie mieć dokładnie jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ v \in \left\langle 0, \frac{1}{2} \right\rangle}\)
Ten przedział który wcześniej podałeś na \(\displaystyle{ v}\) jest dziwny bo nie będzie ujemnych wartości jeśli \(\displaystyle{ i \in \left( -\pi,\pi \right)}\)

Idźmy jednak dalej:
Przyjmij sobie takie punkty:
\(\displaystyle{ A = \left( 0, \frac{1}{2} - v \right)}\)
\(\displaystyle{ B = \left( \pi,-v \right)}\)

To nic innego jak końce wykresu.
Wystarczy znaleźć wzór prostej przechodzącej przez te dwa punkty i jej miejsce zerowe \(\displaystyle{ i _{0}}\) . To miejsce zerowe będzie w przybliżeniu równe szukanemu pierwiastkowi.
Rezultat ten można dalej poprawiać.

Podmień jeden z punktów \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\) na wartość \(\displaystyle{ \left( i _{0}, \frac{\sin \left( \frac{i _{0} }{2} \right) }{i_{0}} \right)}\)
Który to będzie punkt - to zależy, trzeba robić tak aby zawsze jeden z punktów był pod osią poziomą układu współrzędnych a drugi nad. Punkt niepodmieniony zostawiasz taki jak był i powtarzasz algorytm.

Powtarzając algorytm będziesz otrzymywał coraz to lepsze przybliżenia rozwiązania. Jeśli następne rozwiązania będą się niewiele różnić od poprzednich to nie ma sensu robić dalej.

Rozumiesz tą ideę?