Równanie i poszukiwania błędu

[Olke]

Witam.
Przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \cos 2x+\sin 2x+1=0}\)
utknęłam, analizując własne wymysły.
Chciałam rozwiązać ją na różne sposoby. Po pierwsze z zastosowaniem wzorów na sinus i kosinus podwójnego kąta i tu poszło bez problemów, ale sądziłam, że można także pobawić się w zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t = 2x}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ \cos t=-\sin t-1}\)
\(\displaystyle{ \cos t= \sqrt{1-\sin ^{2}t} \vee \cos t=- \sqrt{1-\sin ^{2}t}}\)
Podstawiam kolejno powyższe w miejsce kosinusa, ale wynik wychodzi inny niż poprzednio.
Dla pierwszego: \(\displaystyle{ -\sin t-1 \ge 0 \Rightarrow \sin t \le -1 \Rightarrow \sin t=-1}\) i to się zgadza, a dla drugiego: \(\displaystyle{ -\sin t-1 \le 0 \Rightarrow \sin t \ge -1}\) co zawsze jest prawdą, a więc:
\(\displaystyle{ 1-\sin ^{2}t=(1+\sin t)^{2}}\) i to już się nie zgadza.
Prosiłabym o wskazanie błędu w moim rozumowaniu.
Dziękuję.

[k3fe]

Jedna zmienna pomocnicza do dwóch różnych funkcji?

Chyba tak nie można

[Olke]

To taka trochę sztuczna zmienna. Uznałam po prostu, że lepiej będzie się na to patrzyło. Bez zapisywania \(\displaystyle{ 2x}\) jako \(\displaystyle{ t}\) wynik przy zastosowaniu drugiego sposobu pozostaje ten sam i tak samo nieprawidłowy:
\(\displaystyle{ \sin2x=-1 \vee \sin2x=0}\)