Wyznacz wartość wyrażenia

[mahikus]

Witam serdecznie. Przyniesiono ze szkóły takie coś, nie mamy zielonego pojęcia jak się za to zabrać więc proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \cdot \ctg ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha=2/3}\) a kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry

[Althorion]

\(\displaystyle{ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1}\)

[edith1423]

Ja bym skorzystała z tego, że \(\displaystyle{ \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}}\) i potem sprowadziła do wspólnego mianownika, potem wyciągnęła przed nawias \(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha}\) i zostaje mi \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin ^{2} \alpha }}\).

[piasek101]

Skoro masz kąt ostry - więc ktoś widział trójkąt prostokątny o bokach 2 i 3 (bo podany sinus). Z Pitagorasa liczysz trzeci bok i masz funkcje jakie tylko sobie zamarzysz.

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \cdot \ctg ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \ =}\)

\(\displaystyle{ \cos^{2} \alpha \cdot (ctg ^{2} \alpha + 1) \ =}\)

\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \cdot \left( \frac{\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha} +1\right) \ =}\)

\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \cdot \left( \frac{\cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha}\right) \ =}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} \ = \ctg ^{2} \alpha}\)

Zatem
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha \cdot \ctg ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \ = \ctg ^{2} \alpha}\)



Aha - masz dany \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2}{3}}\)

No to wyraź ten cotangens przez sinus:

\(\displaystyle{ \ctg ^{2} \alpha= \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} = \frac{1- \sin^{2} \alpha}{ \sin^{2} \alpha}}\)

i podstaw \(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2}{3}}\)

Dostaniesz, o ile się nie mylę tyle:

\(\displaystyle{ \ctg ^{2} \alpha= \frac{5}{4}}\)