Udowodnij tożsamości:
1) \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1 - sin\alpha}{1+sin\alpha}}}\) + \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1 + sin\alpha}{1 - sin\alpha}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{2}{cos\alpha}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac {cos^{2}\alpha - 2sin\alpha(1-sin\alpha)}{(1-sin\alpha)cos\alpha + (1+sin\alpha)cos\alpha}}\) * \(\displaystyle{ \frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}}\) = \(\displaystyle{ cos\alpha}\)
Prosiłbym o jak najszybszą pomoc
Stronę lewą trzeba tak przekształcić, żeby była równa prawej.
Tożsamości
-
Dargi
- Użytkownik
- Posty: 1228
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 253 razy
Tożsamości
To można zrobić tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1 - sin\alpha}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{1 + sin\alpha}{1-sin\alpha}}=\frac{2}{cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ L=\sqrt{\frac{1 - sin\alpha}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{1 + sin\alpha}{1-sin\alpha}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}{(1+sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)\cdot(1+sin\alpha)}{(1-sin\alpha)\cdot(1+sin\alpha)}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)^2}{(1+sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)^2}{(1-sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)^2}{1-sin^2\alpha}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)^2}{1-sin^2\alpha}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)^2}{cos^2\alpha}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)^2}{cos^2\alpha}}=
\frac{(1 - sin\alpha)}{cos\alpha}+\frac{(1 + sin\alpha)}{cos\alpha}=\frac{1-sin\alpha+1+sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{2}{cos\alpha}=P}\) CND
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1 - sin\alpha}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{1 + sin\alpha}{1-sin\alpha}}=\frac{2}{cos\alpha}}\)
\(\displaystyle{ L=\sqrt{\frac{1 - sin\alpha}{1+sin\alpha}}+\sqrt{\frac{1 + sin\alpha}{1-sin\alpha}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}{(1+sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)\cdot(1+sin\alpha)}{(1-sin\alpha)\cdot(1+sin\alpha)}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)^2}{(1+sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)^2}{(1-sin\alpha)\cdot(1-sin\alpha)}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)^2}{1-sin^2\alpha}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)^2}{1-sin^2\alpha}}=
\sqrt{\frac{(1 - sin\alpha)^2}{cos^2\alpha}}+\sqrt{\frac{(1 + sin\alpha)^2}{cos^2\alpha}}=
\frac{(1 - sin\alpha)}{cos\alpha}+\frac{(1 + sin\alpha)}{cos\alpha}=\frac{1-sin\alpha+1+sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{2}{cos\alpha}=P}\) CND
Ostatnio zmieniony 28 mar 2007, o 19:41 przez Dargi, łącznie zmieniany 1 raz.
-
EleM
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 24 sty 2007, o 22:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z bajki :]
- Podziękował: 3 razy
Tożsamości
"egon89" napisz do mnie na gg . obawiam sie że te zadanie to nie problem, dam ci bardzo cenne wskazówki
-
Dargi
- Użytkownik
- Posty: 1228
- Rejestracja: 17 lis 2005, o 18:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Pomorze
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 253 razy
Tożsamości
\(\displaystyle{ \frac{cos^2\alpha-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{(1-sin\alpha)cos\alpha+(1+sin\alpha)cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=cos\alpha}\)
Bierzemy lewą stronę:
\(\displaystyle{ L=\frac{cos^2\alpha-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{(1-sin\alpha)cos\alpha+(1+sin\alpha)cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin^2\alpha)-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{cos\alpha(1-sin\alpha+1+sin\alpha)}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin\alpha)(1+sin\alpha)-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{2cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin\alpha)(1+sin\alpha-2sin\alpha)}{2cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin\alpha)^2}{2cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}...}\)
teraz skracamy i mamy:
\(\displaystyle{ ...\frac{(1-sin\alpha)\cdot(1+sin\alpha)}{cos\alpha}=\frac{1-sin^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{1-(1-cos^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{1-1+cos^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{cos^2\alpha}{cos\alpha}=cos\alpha=P\ CND}\)
Bierzemy lewą stronę:
\(\displaystyle{ L=\frac{cos^2\alpha-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{(1-sin\alpha)cos\alpha+(1+sin\alpha)cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin^2\alpha)-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{cos\alpha(1-sin\alpha+1+sin\alpha)}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin\alpha)(1+sin\alpha)-2sin\alpha(1-sin\alpha)}{2cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin\alpha)(1+sin\alpha-2sin\alpha)}{2cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}=\frac{(1-sin\alpha)^2}{2cos\alpha}\cdot\frac {2(1+sin\alpha)}{1-sin\alpha}...}\)
teraz skracamy i mamy:
\(\displaystyle{ ...\frac{(1-sin\alpha)\cdot(1+sin\alpha)}{cos\alpha}=\frac{1-sin^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{1-(1-cos^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{1-1+cos^2\alpha}{cos\alpha}=\frac{cos^2\alpha}{cos\alpha}=cos\alpha=P\ CND}\)
Ostatnio zmieniony 28 mar 2007, o 22:18 przez Dargi, łącznie zmieniany 2 razy.