równanie trygonometryczne

[Dominik J]

\(\displaystyle{ 1+\sin 2x=\cos 2x}\)

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu.

[wujomaro]

Ja bym działał tak:
1) Zamień \(\displaystyle{ 1}\) na jedynkę trygonometryczną.
2) Wzór na sinus podwójnego kąta.
3) \(\displaystyle{ \cos 2x= \cos^{2}x- \sin^{2}x}\)
I działaj.
Pozdrawiam!

[Igor V]

\(\displaystyle{ 1+\sin 2x=\cos 2x}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x+\sin ^{2} x-\cos ^{2} x=0}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x+(1-\cos ^{2} x)-\cos ^{2} x=0}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x\cos x+1-\cos ^{2} x -\cos ^{2} x=0}\)
\(\displaystyle{ 2\sin x\cos x-2\cos ^{2} x+2=0 |:2}\)
\(\displaystyle{ \sin x\cos x-\cos ^{2} x+1=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x\cos x+\cos ^{2} x =0}\)
\(\displaystyle{ \sin x(\sin x+\cos x)=0}\)

Ze wzoru na sinus sumy kątów:
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x= \sqrt{2}( \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin x+ \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos x)=
\sqrt{2}(\sin x\cos \frac{\pi}{4} +\cos x\sin\frac{\pi}{4})= \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin x\sin(x+\frac{\pi}{4})=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x\sin(x+\frac{\pi}{4})=0}\)

A to już łatwo da się rozwiązać.-- 10 lut 2013, o 20:29 --Albo dużo prościej jak proponuje wujomaro

[wujomaro]

A czy tak nie byłoby szybciej(chyba, że się gdzieś pomyliłem)?
\(\displaystyle{ \sin^{2}x+\cos^{2}x + 2\sin x \cos x= \cos^{2}x - \sin^{2}x \\ 2 \sin^{2}x + 2 \sin x \cos x=0}\)
Pozdrawiam!

[Igor V]

Byłoby,dlatego dopisałem to w moim wcześniejszym poście,że Twoje rozwiązanie jest szybsze.

[wujomaro]

W porządku, nie zauważyłem.
Pozdrawiam!