Przekształć do najprostszej postaci

[movis92]

Witam

Jest to mój pierwszy post, dlatego proszę o wyrozumiałość, jeżeli chodzi o sposób przedstawienia zadania.
Potrzebuje pomocy w zadaniu, dochodzę w nim do pewnego momentu i nie wiem co powinienem zrobić dalej.

Polecenie:
Znajdź dziedzinę funkcji, a następnie przekształć wzór do najprostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{\tg^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right) -1}{\tg^2 \left( x -\frac{ \pi}{4} \right) +1}}\)


Na początku zamianami \(\displaystyle{ \tg^2}\) w liczniku i mianowniku na \(\displaystyle{ \frac{\sin ^2}{\cos ^2}}\). Sprowadzam do wspólnego mianownika z 1. Cosinusy w liczniku i mianowniku mi się elegancko skracają. W mianowniku powstaje jedynka trygonometryczna a w liczniku dochodzę do postaci:

\(\displaystyle{ \sin^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right) - cos^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right)}\)

Teraz moje pytanie:

Jak to powinienem dalej ugryźć? Nie mam pomysłu jak zamienić \(\displaystyle{ \left( x - \frac{ \pi}{4} \right)}\) na coś innego.

Z góry dziękuję za pomoc

[kristoffwp]

Dziedzina: \(\displaystyle{ D=\{x\in \mathbb{R}: x- \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\}, k\in\mathbb{Z}}\)

Dalej:

\(\displaystyle{ \sin^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right) - cos^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right)=-\left(-\sin^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right) + cos^2 \left( x - \frac{ \pi}{4} \right)\right)=-\cos\left(2\left( x-\frac{\pi}{4}\right)\right)=-\cos\left(2x- \frac{\pi}{2}\right)=-\cos\left(-2x+ \frac{\pi}{2}\right) = -\sin2x}\)

[movis92]

Dziękuję Panu za odpowiedź.

Udało mi się dojść do tego samego wyniku przy zastosowaniu wzorów:

\(\displaystyle{ \sin (a-b) i \cos (a-b)}\)


Tyle, że jest to o wiele bardziej czasochłonna metoda, ponieważ potem musimy podnieść do kwadratu.

Czy mógłby mi Pan wytłumaczyć Pana metodę? Chciałbym się jej nauczyć.
Jest o wiele szybsza i interesująca.

Nie rozumiem tej zamiany \(\displaystyle{ \sin^2}\) na \(\displaystyle{ \-(cos2(2(x - \frac{\pi}{4}))}\)

Pozdrawiam.

[kristoffwp]

Jest taki wzór: \(\displaystyle{ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha}\). Wyobraź sobie, że \(\displaystyle{ \alpha=x- \frac{\pi}{4}}\). Stąd to przejście. Dodatkowo skorzystałem z parzystości funkcji cosinus, tj.

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\cos(-\alpha)}\) i ze wzoru \(\displaystyle{ \cos( \frac{\pi}{2}- \alpha)=\sin\alpha}\)

[movis92]

Teraz już wszystko jasne

Dziękuję za pomoc!