arctg i tg

[PiTek93]

Czy \(\displaystyle{ \arctan (x)}\)można inaczej zapisać jako \(\displaystyle{ \tg ^{-1}(x)}\)???
To taka podstawa, a nie jestem pewny...

[miodzio1988]

można

[PiTek93]

Dzięki, wiem, że to podstawa, ale chciałem się upewnić.
W takim razie, czy można zapisać \(\displaystyle{ \frac{\tg ^{2}(x) }{\arctan (x)}}\), zapisać jako \(\displaystyle{ \tg ^{-2}(x)}\)?

[konrad509]

Nie. \(\displaystyle{ \tg^{-1} (x) \not =(\tg x)^{-1}}\)

[squared]

Nie, nie można tak zapisać jak ty proponujesz, ponieważ minus \(\displaystyle{ \tg ^{-1}}\) nie odnosi się do potęgi, lecz do tego, iż jest to funkcja odwrotna.

[PiTek93]

okok rozumiem, więc gdybym miał do policzenia granicę z \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0+} \frac{\tg ^{2}(x) }{\arctan (x)}}\), to musiałbym liczyć delopitalem \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0}\right]}\),
co za tym idzie otrzymałbym, że \(\displaystyle{ \tg ^{2}(x) = \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}}\), następnie korzystając z jedynki trygonometrycznej otrzymuje takie coś \(\displaystyle{ \tg ^2 x= \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}=\frac{1-\cos ^2 x}{\cos ^2 x}}\) z tego liczę pochodną, czyli \(\displaystyle{ \frac{(1-\cos ^2 x)'}{\((\cos ^2 x)'}}\) i to mi daje wynik \(\displaystyle{ =-1}\) - licznik
teraz mianownik \(\displaystyle{ (\arctan (x))'= \frac{1}{ x^{2} +1}}\), czyli ostatecznie mam:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{ x^{2} +1}}\), mogę wreszcie podstawić \(\displaystyle{ 0}\) pod \(\displaystyle{ x}\) i wychodzi mi wynik \(\displaystyle{ -1}\).
Czy to zadanie rozwiązałem poprawnie, bo wydaje mnie się że gdzieś ukryły się jakieś błędy z rozumowaniu.

-- 4 lut 2013, o 20:01 --

wie ktoś może czy zrobiłem to poprawnie???