Tożsamości trygonometryczne

[macikiw2]

Muszę sprawdzić podane równości trygonometryczne wiedząc że \(\displaystyle{ \alpha = \left( 0 ,90\right) \cup \left( 90, 180\right)}\) - oczywuiście chodzi o stopnie.

\(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \alpha \cdot \ctg ^{2} \alpha = \frac{\ctg \alpha }{\sin \alpha }}\)

i
\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \cos \alpha }{\sin \alpha } = \ctg \alpha \cdot ( 1 + \tg \alpha )}\)

Oraz obliczyć

\(\displaystyle{ \sin ^{4} \alpha + \cos ^{4} \alpha}\) , wiedząc że sin \(\displaystyle{ \alpha +\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)


Niby wiem jak to zrobić ale nie potrafię zauważyć własności , zapisałem już sporo kartek z przekształceniami i dalej nic nie ruszyło. Wychodziłem zarówno z lewej jak i prawej strony...Z góry dzięki.

[anna_]

\(\displaystyle{ L=\cos \alpha + \cos \alpha \cdot \ ctg ^{2} \alpha = \cos \alpha + \cos\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos\alpha \sin^2\lpha}{\sin^2\alpha} +\cos\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} =\\
\frac{\cos\alpha \sin^2\alpha+\cos^3\alpha}{\sin^2\alpha}= \frac{\cos\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)}{\sin^2\alpha}= \frac{\cos\alpha}{\sin^2\alpha}= \frac{ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} }{\sin\alpha} = \frac{\ctg \alpha }{\sin \alpha }=P}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \cos \alpha }{\sin \alpha } = \ctg \alpha \cdot ( 1 + \tg \alpha )}\)

Radzę zacząć od prawej strony

-- dzisiaj, o 18:10 --

Albo rozbij lewą na dwa ułamki.

_________________________________________________________________

\(\displaystyle{ (\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha)^2=\sin ^{4} \alpha + \cos ^{4} \alpha+2\sin ^{2} \alpha\cos ^{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ 1=\sin ^{4} \alpha + \cos ^{4} \alpha+2\sin ^{2} \alpha\cos ^{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{4} \alpha + \cos ^{4} \alpha=1-2\sin ^{2} \alpha\cos ^{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin ^{4} \alpha + \cos ^{4} \alpha=1-2(\sin \alpha\cos \alpha)^2}\)

Teraz podnieś do potęgi drugiej \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\), policz \(\displaystyle{ \sin \alpha\cos \alpha}\) i wstaw do tego wzoru wyżej

[macikiw2]

Nie wiem wychodzę z prawej i :

\(\displaystyle{ \ctg \cdot \left( 1 + \tg \alpha \right) = \ctg \alpha \cdot \tg \alpha + \ctg \alpha \cdot 1 = 1 + \ctg \alpha \cdot 1 = 1 + \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \cdot 1 = 1 + \frac{\cos \alpha }{ \sin \alpha } \cdot \left( \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha \right) = 1 + \frac{\cos \alpha \cdot \sin ^{2} \alpha }{\sin \alpha } + \frac{\cos \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha }{\sin \alpha \alpha } =}\)


I dalej nie piszę bo nie wiem czy w ogóle to jest dobrze... Zacząłem dalej liczyć , ale jeszcze bardziej się pogrążyłem i do niczego nie doszedłem .

[anna_]

\(\displaystyle{ \ctg \cdot \left( 1 + \tg \alpha \right) = \ctg \alpha \cdot 1 + \ctg \alpha \cdot \tg \alpha =\ctg \alpha+ 1 = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+1}\)

i do wspólnego mianownika

[macikiw2]

Ok dzięki , uświadomiłem sobie właśnie że tą jedynkę trygonometryczną można mnożyć jak się chce jako zwykłą jedynkę i nie trzeba nic podstawiać .

A to drugie zadanie coś mi jednak nie wychodzi
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} }
\left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2} = \frac{1}{4}
\sin ^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos ^{2} \alpha = \frac{1}{4}
1 + 2sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{4}
2\sin \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{3}{4}
\sin \alpha \cdot \cos \alpha = - \frac{3}{8} \Rightarrow 1 -2\left( \sin \alpha \cdot \cos \alpha \right) ^{2} = 1- 2 \frac{9}{64} = \frac{23}{32}}\)
Nie wiem gdzie się rypnąłem, bo odpowiedź to :
\(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{2} }{8}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{ \sqrt{2} } \right) ^2= \frac{1}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

[macikiw2]

O jezu , ja dzisiaj nie myślę...

-- 3 lut 2013, o 19:22 --

A jak zacząć przekształcanie gdy zamiast potęgi czwartej będzie do trzeciej ?
\(\displaystyle{ \sin ^{3} \alpha + \cos ^{3} \alpha}\) z założeniem że \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{ \sqrt{2} } }}\)-- 3 lut 2013, o 21:10 --Więc wiecie ?