Przekształcenia trygonometryczne

[OnlyPietrucha]

Wyznacz \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), tak aby zachodziło równanie: \(\displaystyle{ \sin(x) + \sin(y) = \sin(x + y)}\).

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sin(x) + \sin(y) = \sin(x + y)}\)

Podnieś to równanie stronami do kwadratu i uporządkuj, a dostaniesz równanie:

\(\displaystyle{ \sin(x) \cdot sin(y) \cdot \cos(x+y) = 0}\)

Skąd widać, że

\(\displaystyle{ x= k \cdot \pi \ i \ y \ dowolne \vee y= k \cdot \pi \ i \ x \ dowolne \vee x+y = \frac{1}{2}\pi + k \cdot \pi = \frac{2k+1}{2}\cdot \pi}\)

gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\)

[lukasz1804]

Na podstawie tożsamości trygonometrycznych dostajemy \(\displaystyle{ 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}=\sin x+\sin y=\sin(x+y)=\sin\left(2\cdot\frac{x+y}{2}\right)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x+y}{2}}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ \sin\frac{x+y}{2}=0}\) lub \(\displaystyle{ \cos\frac{x-y}{2}=\cos\frac{x+y}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ x+y=2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x-y=x+y+2l\pi}\), lub \(\displaystyle{ x+y=y-x+2m\pi}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,l,m\in\ZZ}\), tj. \(\displaystyle{ x+y=2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ y=l\pi}\), lub \(\displaystyle{ x=m\pi}\) dla pewnych \(\displaystyle{ k,l,m\in\ZZ}\).