Dowód nierówności

[rafal9541]

Nie wiem jak się zabrać za takie zadanie: Pokazać, że dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0,+ \infty \right)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sin x \ge x- \frac{x^{3} }{6}}\)

[chris_f]

\(\displaystyle{ \sin x\ge x-\frac{x^3}{6}}\)
\(\displaystyle{ \sin x- x+\frac{x^3}{6}\ge0}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=\sin x- x+\frac{x^3}{6}}\). Mamy oczywiście, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Wystarczy więc udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x>0}\).
Obliczamy pochodną
\(\displaystyle{ f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}}\)
Musimy wykazać, że
\(\displaystyle{ f'(x)=f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}>0}\)
Jeżeli oznaczymy \(\displaystyle{ g(x)=f'(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}}\), to mamy, że \(\displaystyle{ g(0)=0}\) i wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ g(x)}\) jest rosnąca. Obliczamy
\(\displaystyle{ g'(x)=-\sin x+x}\).
Sprawdzamy, kiedy \(\displaystyle{ g'(x)>0}\)
\(\displaystyle{ -\sin x+x>0}\)
\(\displaystyle{ x>\sin x}\).
Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa dla wszystkich \(\displaystyle{ x>0}\).
Oznacza to, że \(\displaystyle{ g(x)}\) jest rosnąca, czyli \(\displaystyle{ g(x)>g(0)=0}\), co daje nam, że \(\displaystyle{ f(x)[}\) jest rosnąca co kończy dowód.

Oczywiście takie nierówności można bardziej komplikować, wystarczy brać po prawej stronie coraz więcej wyrazów rozwinięcia funkcji sinus w szereg potęgowy. Podobne nierówności można tworzyć dla wielu innych funkcji.

[Dilectus]

Narysuj wykresy funkcji

a) \(\displaystyle{ y=\sin x}\)

b) \(\displaystyle{ y= x- \frac{x^{3} }{6}}\)



Określ max funkcji b) dla \(\displaystyle{ x>0}\) (czyli \(\displaystyle{ x_{max}}\) i \(\displaystyle{ y_{max}}\)) i pokaż, że jest ono mniejsze niż wartość funkcji \(\displaystyle{ y=\sin(x_{max})}\)

[rafal9541]

Dzięki Panowie