Rozstrzygnięcie wartości na przedziale funkcji

[Yurash]

Witam, mam problem z zadaniem, do którego w ogóle nie wiem jak mam się zabrać. Treść tego zadania jest następująca :

\(\displaystyle{ f(x)=\arctan (x^{2}) + x^{2} -1.}\) Rozstrzygnąć, czy w przedziale (0,1) funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ \frac{3}{4}.}\) Jeśli tak, to ile razy, ta wartość jest osiągana?

Byłabym niezmiernie wdzięczna, gdyby ktoś pokierował jak robić tego typu zadania.
Z góry dziękuję

[pyzol]

Zobacz jakie wartości ma ta funkcja na krańcach przedziału.

[Yurash]

Nie do końca wiem, czy dobrze rozumiem...
Dla 0 funkcja przyjmie wartość \(\displaystyle{ (-1)}\), natomiast dla 1 przyjmie wartość \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\)

[loitzl9006]

No i dobra, \(\displaystyle{ \frac\pi4}\) jest większe niż \(\displaystyle{ \frac34}\); policz teraz pochodną \(\displaystyle{ f'(x)}\). Jak już policzysz ile wynosi \(\displaystyle{ f'(x)}\), to poprzez rozwiązanie nierówności \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) albo \(\displaystyle{ f'(x)<0}\) przekonasz się, w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca. Spójrz, co dzieje się z funkcją dla danego przedziału \(\displaystyle{ (0;1)}\) i wyciągnij odpowiedni wniosek... W razie jakichś wątpliwości - podpowiemy.

[Yurash]

\(\displaystyle{ f(x)' = \frac{2x}{1+x ^{4} } +2}\) funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x >0}\) a malejąca dla \(\displaystyle{ x < 0}\) I teraz właśnie nie wiem, jak mam patrzeć na tą funkcję... Czy powinnam narysować sobie ją w układzie współrzędnych i nanieść ten przedział i moje wyniki?

[Vardamir]

Pochodna będzie \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{2x}{1+x ^{4} } +2x}\).

Ale faktycznie tak się będzie zachowywać jak napisałaś. Teraz, skoro na początku przedziału mamy wartość \(\displaystyle{ -1}\) a na końcu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) i funkcja cały czas rośnie w tym przedziale to ile razy osiągnie wartość \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) ?

[Yurash]

tak tak, zjadłam X przy przepisywaniu pochodnej.
No wydaje mi się, że ta wartość zostanie osiągnięta raz... Ale właśnie nie wiem jak na to patrzeć... ;/ Zawsze miałam problem trygonometrią a tym bardziej z funkcjami cyklometrycznymi...

[Vardamir]

To zadanie poza wykorzystaniem funkcji cylkometrycznej nie wymaga znajomości żadnych własności trygonometrycznych poza pochodną tego arkusa.

I zgadza się, jeśli funkcja stale rośnie na przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\) i przyjmuje na nim takie wartości, że \(\displaystyle{ (a,b) \rightarrow (f(a),f(b))}\) oraz \(\displaystyle{ f(a)<k<f(b)}\) to wartość \(\displaystyle{ k}\) jest osiągana dokładnie raz.

[Yurash]

I to jest już całe zadanie? Bo niby jeszcze pod tą treścią umieszczoną na forum, mam coś takiego:
"istnieje punkt \(\displaystyle{ x _{0} \in (0,1)}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x _{0}) = \frac{1}{2}}\).
Ale niezbyt wiem do czego to się odnosi, bo z pytaniem o wartość osiągania niezbyt ma to coś wspólnego...