Równanie trygonometryczne

[ivanski]

Witam, mam do rozwiązania takie proste równanie, z tym że zatrzymałem sie na pewnym etapie.
Otóz polecenie brzmi: Rozwiąż równanie

\(\displaystyle{ \cos ^{2} \left( x - \frac{ \pi }{4} \right) = \frac{1}{4}}\)

Więc
\(\displaystyle{ t = x - \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos ^2t = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \cos t = \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ \cos t = - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ t = \frac{ \pi }{3} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ t = -\frac{ \pi }{3} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ t = \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ t = - \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}\)

Wracam do podstawiania:
\(\displaystyle{ x - \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{3} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x - \frac{ \pi }{4} = -\frac{ \pi }{3} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x - \frac{ \pi }{4} = \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x - \frac{ \pi }{4} = - \frac{2 \pi }{3} +2k \pi}\)

Po obliczeniu
\(\displaystyle{ x = \frac{ 7\pi }{12} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x = -\frac{ \pi }{12} + 2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x = \frac{11 \pi }{12} +2k \pi}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ x = - \frac{5 \pi }{12} +2k \pi}\)

I teraz mam pytanie jak mam zebrac te wszystkie rozwiązania, mógłby mi ktoś wytłumaczyć?

[Igor V]

Możesz to zostawić w takiej formie,nic się nie stanie.Ewentualnie jak baaardzo chcesz mieć to zapisane w bardziej zwięzłej formie to zaznacz sobie na osi liczbowej te punkty (dla kolejnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ k}\)) i zobacz może jakaś wyniknie z tego zależność i rozwiązania da się jakoś ze sobą połączyć.